toán khó 6

[olahauan01]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

cho 4 số nguyên dương a,b,c,d thoả mãn: a^2+b^2=c^2+d^2.Chứng minh a+b+c+d là hợp số.

 

[luffy_1998]

[TEX]a^2 + b^2 = c^2 + d^2 \Rightarrow a^2 + b^2 + c^2 + d^2 = 2(a^2 + b^2) \vdots 2[/TEX]
[TEX]A = a^2 + b^2 + c^2 + d^2 - (a+b+c+d) = a(a-1) + b(b-1) + c(c-1) + d(d-1)[/TEX]
a và a-1 là 2 STN liên tếp nên \exists một số [TEX]\vdots 2 \Rightarrow a(a-1) \vdots 2[/TEX]
Tương tự với b, c, d thì ta có [TEX]A \vdots 2 \Rightarrow a+b+c+d \vdots 2[/TEX]
[TEX]a,b,c,d \geq 1 \Rightarrow a+b+c+d \geq 4 \Rightarrow dpcm[/TEX]

 

[thaonguyenkmhd]

Xét hiệu :
$a^2 + b^2 + c^2 + d^2 - a - b - c - d$. Ta có:
$a^2 - a = a(a - 1)$ là tích của hai số nguyên liên tiếp nên chia hết cho 2
Tương tự $b^2 - b ; c^2 - c; d^2 - d \ \vdots \ 2$
$\leftrightarrow a^2 + b^2 + c^2 + d^2 - a - b - c - d \ \vdots \ 2$.
Mà $a^2 + b^2 + c^2 + d^2 \ \vdots \ 2 ( \ do \ a^2 + b^2 = c^2 + d^2$)
Suy ra $ a + b + c + d \ \vdots \ 2$
Mà $a , b , c , d$ nguyên dương nên $a + b + c + d > 2$
Do đó, $a + b + c + d$ là hợp số.