Toán HSG

[thungan6a4]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

$M=(\sqrt{3}+\sqrt{2})^ 2016 $ + $(\sqrt{3}-\sqrt{2})^ 2016$
a) CMR: M là số nguyên
b)Tìm chữ số tận cùng của M

 

[pinkylun]

bạn tham khảo bài này nhé
http://diendantoanhoc.net/forum/index.php?/topic/135321-msqrt2sqrt32016sqrt2-sqrt32016/


a.Đăt $\sqrt{2}+\sqrt{3}=a;\sqrt{3}-\sqrt{2}=b$⇒$ab=1$

Đặt $S_n=a_n+b_n$

Có $S_2=10;S_4=98$

$S_{n+4}=a^{n+4}+b^{n+4}=(a^{n+2}+b{n+2})(a^2+b^2)−a^2b^2(a^n+b^n)=S_{n+2}.10−S_n$

⇒M là số nguyên

b.$S_{n+4}+S_n=10.S_{n+2}$

Nên ta cũng có $S_{n+8}+S_{n+4}⋮10⇒S_n≡S_{n+8}(mod10)⇒S_{2016}≡S_0≡2(mod10)$

⇒M tận cùng là 2

 

[thungan6a4]

bạn tham khảo bài này nhé
http://diendantoanhoc.net/forum/index.php?/topic/135321-msqrt2sqrt32016sqrt2-sqrt32016/


a.Đăt $\sqrt{2}+\sqrt{3}=a;\sqrt{3}-\sqrt{2}=b$⇒$ab=1$

Đặt $S_n=a_n+b_n$

Có $S_2=10;S_4=98$

$S_{n+4}=a^{n+4}+b^{n+4}=(a^{n+2}+b{n+2})(a^2+b^2)−a^2b^2(a^n+b^n)=S_{n+2}.10−S_n$

⇒M là số nguyên

b.$S_{n+4}+S_n=10.S_{n+2}$

Nên ta cũng có $S_{n+8}+S_{n+4}⋮10⇒S_n≡S_{n+8}(mod10)⇒S_{2016}≡S_0≡2(mod10)$

⇒M tận cùng là 2

vì sao $S_{n+4}+S_n=10.S_{n+2}$ thì M là số nguyên