Toán HSG khó nè!

[long09455]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

1.Chứng minh rằng:
a) $\dfrac{1}{2^2}+ \dfrac{1}{4^2}+ \dfrac{1}{6^2}+...+ \dfrac{1}{100^2}< \dfrac{1}{2} \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ b) \dfrac{3}{4}+ \dfrac{8}{9}+ \dfrac{15}{16}+...+ \dfrac{2499}{2500}> 48$

2.Tính giá trị các biểu thức sau:
a) $\dfrac{3}{4}c+ \dfrac{5}{6}c- \dfrac{9}{12}c (\ với \ c=\dfrac{2002}{2003} )$

3.Tính:
a) $\dfrac{3}{2.5}+ \dfrac{3}{5.8}+...+ \dfrac{17}{20} \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ b) \dfrac{5^2}{1.6}+ \dfrac{5^2}{6.11}+...+ \dfrac{5^2}{26.31}$

~> Chú ý đánh latex. Xem thêm tại Cách gõ công thức Toán, Vật lí, Hóa học

 

[soicon_boy_9x]

Bài 1:
$a)Đặt \ A=\dfrac{1}{2^2}+\dfrac{1}{4^2}+...+\dfrac{1}{100^2}$
$\dfrac{1}{2}A=\dfrac{1}{2.4}+\dfrac{1}{4.8}+ \dfrac{1}{6.12} +...+ \dfrac{1}{100.200}$
$\dfrac{1}{2}A<\dfrac{1}{2.4}+\dfrac{1}{4.6}+ \dfrac{1}{6.8} +...+\dfrac{1}{100.102}$
$\dfrac{1}{2}A<\dfrac{1}{2}(\dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{4}+\dfrac{1}{4}-\dfrac{1}{6}+\dfrac{1}{6}-\dfrac{1}{8}+...+\dfrac{1}{100}-\dfrac{1}{102})$
$\dfrac{1}{2}A<\dfrac{1}{2}(\dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{102}$
$\dfrac{1}{2}A<\dfrac{1}{4}-\dfrac{1}{204}$
$\rightarrow A<\dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{102}<\dfrac{1}{2}$
Vậy $A<\dfrac{1}{2}$
$b)Đặt \ B=\dfrac{3}{4}+\dfrac{8}{9}+...+\dfrac{2499}{2500}$
$B=1-\dfrac{1}{4}+1-\dfrac{1}{9}+...+1-\dfrac{1}{2500}$
$B=(1+1+...+1)-(\dfrac{1}{2^2}+\dfrac{1}{3^2}+...+\dfrac{1}{50^2})$
$B=49-(\dfrac{1}{2^2}+\dfrac{1}{3^2}+...+\dfrac{1}{50^2})$
$B>49-(\dfrac{1}{2.3}+\dfrac{1}{3.4}+...+\dfrac{1}{50.51})$
$B>49-(\dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{3}+\dfrac{1}{3}-\dfrac{1}{4}...+\dfrac{1}{49}-\dfrac{1}{50}$
$B>49-(\dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{51})$
$B>48+\dfrac{1}{51}>48$
Vậy $B>48$
Bài 2:Có câu a sao không có câu b
$\dfrac{3}{4}c+\dfrac{5}{6}c-\dfrac{9}{12}c$
$=\dfrac{9}{12}c+\dfrac{5}{6}c-\dfrac{9}{12}c$
$=\dfrac{5}{6}c=\dfrac{5}{6}.\dfrac{2002}{2003}= \dfrac{5005}{6009}$
Bài 3:
Mình nghĩ đề câu a sẽ thế này
$\dfrac{3}{2.5}+\dfrac{3}{5.8}+...+\dfrac{3}{17.20}$
Nếu thế thì cách làm là
$a)\dfrac{3}{2.5}+\dfrac{3}{5.8}+...+\dfrac{3}{17.20}$
$=\dfrac{1}{3}(\dfrac{3}{2}-\dfrac{3}{5}+\dfrac{3}{5}-\dfrac{3}{8}+...+\dfrac{3}{17}-\dfrac{3}{20}$
$=\dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{5}+\dfrac{1}{5}-\dfrac{1}{8}+...+\dfrac{1}{17}-\dfrac{1}{20}$
$=\dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{20}=\dfrac{9}{20}$
$b)\dfrac{5^2}{1.6}+\dfrac{5^2}{6.11}+...+\dfrac{5^2}{26.31}$
$=\dfrac{1}{5}(5^2-\dfrac{5^2}{6}+\dfrac{5^2}{6}-\dfrac{5^2}{11}+...+\dfrac{5^2}{26}-\dfrac{5^2}{31})$
$=5-\dfrac{5}{6}+\dfrac{5}{6}-\dfrac{5}{11}+...+\dfrac{5}{26}-\dfrac{5}{31}$
$=\dfrac{150}{31}$