Toán 9 Toán học vui cùng BĐT Cauchy!

[Aquarius Angel]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Bài 1: Cho các số thực không âm a, b, c chứng minh
a) [tex]\sqrt[3]{(1+a)(1+b)(1+c)}\geq 1+\sqrt[3]{abc}[/tex]
b) [tex]a\sqrt{bc}+b\sqrt{ac}+c\sqrt{ab}\leq \frac{1}{3}(a+b+c)^{2}[/tex]
c) [tex]\frac{1}{a^{2}+bc}+\frac{1}{b^{2}+ac}+\frac{1}{c^{2}+ab}\leq \frac{a+b+c}{2abc}[/tex]
d) [tex]\frac{ab}{c}+\frac{bc}{a}+\frac{ca}{b}\geq 3\sqrt{a^{2}+b^{2}+c^{2}}[/tex]
Bài 2: Cho [tex]a, b, c\geq 0[/tex]. Chứng minh rằng:
[tex]a+b+c\geq 3\sqrt[3]{abc}+(\sqrt{a}-\sqrt{b})^{2}[/tex]
Bài 3: Cho a>b>0 và ab=1. Chứng minh rằng:
[tex]\frac{(a+b)^{2}-2}{(a+1)(1-b)}\geq 2\sqrt{2}[/tex]

 

[Hoàng Vũ Nghị]

1a,Mũ 3 lên ta có )
[tex]a+b+c+ab+bc+ca+abc+1\geq 1+abc+3\sqrt[3]{abc}(1+\sqrt[3]{abc})\\\Leftrightarrow a+b+c+ab+bc+ca\geq 3\sqrt[3]{abc}(1+\sqrt[3]{abc})[/tex]
luôn đúng theo cauchy

 

[Aquarius Angel]

1a,Mũ 3 lên ta có )
[tex]a+b+c+ab+bc+ca+abc+1\geq 1+abc+3\sqrt[3]{abc}(1+\sqrt[3]{abc})\\\Leftrightarrow a+b+c+ab+bc+ca\geq 3\sqrt[3]{abc}(1+\sqrt[3]{abc})[/tex]
luôn đúng theo cauchy

không làm cách khác được ak bạn?

không làm cách khác được ak bạn?

mà bạn giải thik rõ hơn đoạn cuối cho mình được không

 

[Minh Dora]

Bài 1: Cho các số thực không âm a, b, c chứng minh
a) [tex]\sqrt[3]{(1+a)(1+b)(1+c)}\geq 1+\sqrt[3]{abc}[/tex]
b) [tex]a\sqrt{bc}+b\sqrt{ac}+c\sqrt{ab}\leq \frac{1}{3}(a+b+c)^{2}[/tex]
c) [tex]\frac{1}{a^{2}+bc}+\frac{1}{b^{2}+ac}+\frac{1}{c^{2}+ab}\leq \frac{a+b+c}{2abc}[/tex]
d) [tex]\frac{ab}{c}+\frac{bc}{a}+\frac{ca}{b}\geq 3\sqrt{a^{2}+b^{2}+c^{2}}[/tex]
Bài 2: Cho [tex]a, b, c\geq 0[/tex]. Chứng minh rằng:
[tex]a+b+c\geq 3\sqrt[3]{abc}+(\sqrt{a}-\sqrt{b})^{2}[/tex]
Bài 3: Cho a>b>0 và ab=1. Chứng minh rằng:
[tex]\frac{(a+b)^{2}-2}{(a+1)(1-b)}\geq 2\sqrt{2}[/tex]

1,
a,
[tex]\frac{1}{a+1}+\frac{1}{b+1}+\frac{1}{c+1}\geq \frac{3}{\sqrt[3]{(a+1)(b+1)(c+1)}}[/tex]
[tex]\frac{a}{a+1}+\frac{b}{b+1}+\frac{c}{c+1}\geq \frac{3\sqrt[3]{abc}}{\sqrt[3]{(a+1)(b+1)(c+1)}}[/tex]
Cộng hai vế ta được [tex]3\geq \frac{3(1+\sqrt[3]{abc})}{\sqrt[3]{ (a+1)(b+1)(c+1)}}[/tex]
suy ra dpcm

 

[Aquarius Angel]

1,
a,
[tex]\frac{1}{a+1}+\frac{1}{b+1}+\frac{1}{c+1}\geq \frac{3}{\sqrt[3]{(a+1)(b+1)(c+1)}}[/tex]
[tex]\frac{a}{a+1}+\frac{b}{b+1}+\frac{c}{c+1}\geq \frac{3\sqrt[3]{abc}}{\sqrt[3]{(a+1)(b+1)(c+1)}}[/tex]
Cộng hai vế ta được [tex]3\geq \frac{3(1+\sqrt[3]{abc})}{\sqrt[3]{ (a+1)(b+1)(c+1)}}[/tex]
suy ra dpcm

từ đâu bạn có hai điều đầu vậy

 

[Kaito Kidㅤ]

từ đâu bạn có hai điều đầu vậy

BĐT Cauchy cho 3 số đó

 

[Kaito Kidㅤ]

Mình nghịch tý nhé @@
b.[tex]a\sqrt{bc}+b\sqrt{ac}+c\sqrt{ab}\leq a.\frac{b+c}{2}+b.\frac{a+c}{2}+c.\frac{b+a}{2}=ab+bc+ca\leq a^2+b^2+c^2\leq \frac{(a+b+c)^2}{3}(Cauchy-Schwarz)[/tex]
c.[tex]\frac{1}{a^{2}+bc}+\frac{1}{b^{2}+ac}+\frac{1}{c^{2}+ab}\leq \frac{1}{2a\sqrt{bc}}+\frac{1}{2b\sqrt{ac}}+\frac{1}{2c\sqrt{ba}}=\frac{\sqrt{ab}+\sqrt{cb}+\sqrt{ac}}{2abc}\leq \frac{a+b+c}{2abc}[/tex]
d.

 

[Hoàng Vũ Nghị]

Mình nghịch tý nhé @@
b.[tex]a\sqrt{bc}+b\sqrt{ac}+c\sqrt{ab}\leq a.\frac{b+c}{2}+b.\frac{a+c}{2}+c.\frac{b+a}{2}=ab+bc+ca\leq a^2+b^2+c^2\leq \frac{(a+b+c)^2}{3}(Cauchy-Schwarz)[/tex]
c.[tex]\frac{1}{a^{2}+bc}+\frac{1}{b^{2}+ac}+\frac{1}{c^{2}+ab}\leq \frac{1}{2a\sqrt{bc}}+\frac{1}{2b\sqrt{ac}}+\frac{1}{2c\sqrt{ba}}=\frac{\sqrt{ab}+\sqrt{cb}+\sqrt{ac}}{2abc}\leq \frac{a+b+c}{2abc}[/tex]
d.

Cách khác cho câu b
[tex]a\sqrt{bc}+b\sqrt{ca}+c\sqrt{ab}=\sqrt{abac}+\sqrt{bcba}+\sqrt{cacb}\\\leq \frac{ab+ac}{2}+\frac{bc+ba}{2}+\frac{bc+ca}{2}=ab+bc+ca[/tex]