Toán học sinh giỏi

[ledinhlocpt]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Bài 1: Cho x,y>0, Chứng minh rằng
a) (x+y)( $ \dfrac{1}{x} $ + $ \dfrac{1}{y} $ ) \geq 4
b) $ \dfrac{x}{y} $ + $ \dfrac{y}{z} $ + $ \dfrac{z}{x} $ \geq 3
Bài 2:Chứng minh 4$ x^2 $ + $ y^2 $ \geq $ \dfrac{1}{5} $ với x+y=0
Bài 3: Số nào sau đây không phải là số chính phương
a) M= [TEX] 1992^2 [/TEX] + [TEX] 1993^2 [/TEX] + [TEX] 1994^2 [/TEX]
b) N= 1 + [TEX] 9^100 [/TEX] + [TEX] 94^100 [/TEX] + [TEX] 1994^100 [/TEX]
Bài 4: Tìm n để A chia hết cho B
A= $ n^3 $ + 2$ n^2 $ + 3n + 2
b= $ n^2 $ - n
Bài 5 : Chứng minh rằng $ x^2 $ + $ y^2 $ + 1 \geq xy

 

[nhuquynhdat]

Bài 1

a) Áp dụng BĐT AM-GM, ta có

$x+y$ \geq $2.\sqrt{xy}$

$\dfrac{1}{x}+ \dfrac{1}{y}$ \geq $2.\sqrt{\dfrac{1}{xy}}$

Nhân theo vế ta đc:

$(x+y)(\dfrac{1}{x}+ \dfrac{1}{y})$ \geq $2.\sqrt{xy}.2.\sqrt{\dfrac{1}{xy}}=4$

$\to (x+y)(\dfrac{1}{x}+ \dfrac{1}{y})$ \geq $4$

 

[hiendang241]

1/cách #

a/áp dụng bdt bunhia vs 2 cặp số x,y và $\frac{1}{x}$,$\frac{1}{y}$ ta có:
(x+y)($\frac{1}{x}$+$\frac{1}{y}$)\geq $(1+1)^2$=4(dpcm)

 

[hiendang241]

3a/

đặt 1993=x ta có
$1992^2$+$1993^2$+$1994^2$=$(x-1)^2$+$x^2$+$(x+1)^2$
=3$x^2$+2(không là số chính phương)

 

[hiendang241]

4/

ta có $n
$n^2$-n=(n-1)n
\Rightarrow A chia hết cho B \Leftrightarrow A chia hết cho n và n-1
ta có A=$n^3$+2$n^2$+3n +2=n($n^2$+2n+3)+2

n($n^2$+2n+3) chia hết cho n \Rightarrow 2 chia hết cho n hay n thuộc 1,2,-1,-2(1)
lại có A=(n-1)($n^2$+3n+6)+8 ,(n-1)($n^2$+3n+6) chia hết cho n-1 \Rightarrow A chia hết cho n-1 khi 8 chia hết cho n-1\Rightarrow n-1 thuộc 1,2,4,8,-1,-2,-4,-8
\Rightarrow n thuộc 2,3,5,9,0,-1,-3,-7(2)
1,2 \Rightarrow n thuộc -1,2

 

[riverflowsinyou1]

Bài 5

Giải:
Xét hiệu A=$x^2$+$y^2$-2.x.y+$x^2$+$y^2$+2=$(x-y)^2$+$x^2$+$y^2$+2\geq2
\Rightarrow 2.$x^2$+2.$y^2$+2\geqxy2
\Leftrightarrow $x^2$+$y^2$+1\geqx.y

 

[riverflowsinyou1]

Giải câu 1b

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho 3 số dương ta có :
$\frac{x}{y}$+$\frac{y}{z}$+$\frac{z}{x}$ \geq 3.$\sqrt[2]{(x.y.z)/(x.y.z)}$=3 (đpcm)

 

[thaolovely1412]

Bài 3
a)Theo tính chất của số chính pương, 1 số chính phương khi chia cho 3 số dư chỉ có thể là 0 hoặc 1
Ta có: [TEX]1992^2=(3.664)^2=3.3.664^2 \vdots 3[/TEX]
[TEX]1993^2 = (1992 +1)^2 = 1992^2+2.1992+1=3.3.664^2+2.3.664+1[/TEX]
\Rightarrow [TEX]1993^2 [/TEX]chia 3 dư 1(2)
[TEX]1994^2 = ( 1992 +2 )^2 = 1992^2 + 1992.4 + 4=3.3.664^2+2.3.664+3+1[/TEX] (3)
Từ (1),(2),(3) \Rightarrow [TEX]1992^2 + 1993^2 + 1994^2 =3k+3k+1+3k+1=9k+2[/TEX]
\Rightarrow [TEX]1992^2 + 1993^2 + 1994^2[/TEX] chia 3 dư 2
Vậy [TEX]1992^2 + 1993^2 + 1994^2[/TEX] không là số chính phương

 

[thaolovely1412]

Bài 3
b)Ta có:[TEX] 94^{100}=94^2.94^{98}=(4.229)^2.94^{98}=4.4.229^2. 94^{98}\vdots4[/TEX] (1)
[TEX]1994 \vdots 2 [/TEX] nên [TEX]1994^2 \vdots 4 [/TEX]
\Rightarrow [TEX]1994^{100}=1994^2.1994^{98} \vdots 4[/TEX]
Mặt khác : [TEX]9^{100}-1 = (9-1){9^{99} + 9^{98} +...+ 1) \vdots 4[/TEX] (2)
\Rightarrow [TEX]9^{100}[/TEX] chia 4 dư 1 (3)
Từ (1);(2);(3);(4) \Rightarrow [TEX]1 + 9^{100} + 94^{100} + 1994^{100} =1+4k+1+4k+4k=12k+2[/TEX]
\Rightarrow[TEX]1 + 9^{100} + 94^{100} + 1994^{100}[/TEX] chia 4 dư 2 \Rightarrow không là số chính phương