Toán học sinh giỏi lớp 7 cực khó

[thungan6a4]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Cho đa thức f(x) thoả mãn điều kiện:
$x.f(x+1)=(x+2)f(x)$
Chứng minh rằng đa thức có trên 2 nghiệm phải không.

 

[riverflowsinyou1]

Cho đa thức $f(x)$ thoả mãn điều kiện:
$x.f(x+1)=(x+2)f(x)$
Xét $x=0$
Khi đó $0.f(0+1)=0=2.f(0)$
\Rightarrow $f(0)=0$ \Rightarrow 0 là 1 nghiệm của $f(x)$
Xét $x=-2$ khi đó :
$-2.f(-1)=(-2+2).f(-2)=0$
\Rightarrow $f(-1)$=$0$ suy ra $-1$ là 1 nghiệm của $f(x)$
Vậy $f(x)$ có $2$ nghiệm trở lên.

 

[viethoang345]

Cho đa thức f(x) thoả mãn điều kiện:
x.f(x+1)=(x+2)f(x)
Xét x=0
Khi đó 0.f(0+1)=0=2.f(0)
f(0)=0 0 là 1 nghiệm của f(x)
Xét x=−2 khi đó :
−2.f(−1)=(−2+2).f(−2)=0
f(−1)=0 suy ra −1 là 1 nghiệm của f(x)
Vậy f(x) có 2 nghiệm trở lên.

 

[quynguyentrong]

Ta có nghiệm của đa thức là giá trị của biến làm đa thức có giá trị bằng 0.
Nếu f(a) = 0 => a là nghiệm của f(x).
Do: x.f(x + 1) = (x + 2).f(x) (1) đúng với mọi x.
+ Thay x = 0 vào (1) ta được
0.f(0 + 1) = (0 + 2).f(0)
=> 0 = 2.f(0)
=> f(0) = 0
Do f(0) = 0 => x = 0 là 1 nghiệm của đa thức trên. (2)

+ Thay x = -2 vào (1) ta được:
(-2).f(-2 + 1) = (-2 + 2).f(-2)
=> (-2).f(-1) = 0.f(-2)
=> (-2).f(-1) = 0
=> f(-1) = 0
=> x = -1 là 1 nghiệm của đa thức trên (3)
Từ (2) và (3) => đa thức đã cho có ít nhất 2 nghiệm là x = 0 và x = -2