T
tinhbanonlinevp447
[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!
ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.
MỌI NGƯỜI HÃY GÓP Ý VÀ ĐĂNG BÀI TẬP NGHEN. DẠNG NÀY M` KO CÓ NHIỀU BÀI TẬP CHO LẮM!!1
Đổi biến để chứng minh một dạng Bất Đẳng Thức
(Phương Pháp p; q; r)
Đối với một số bài toán chứng minh bất đẳng thức chứa ba biến a; b; c không âm, có vai trò như nhau (Bình đẳng), bằng cách đặt:
p= a+b+c, q = ab+bc+ca, r = abc, ta có pq - r = (a+b)(b+c)(c+a); [tex]p^2 + q [/tex] = (a+b)(b+c) + (b+c)(c+a) + (c+a)(a+b); [tex]p^2 - 2q = a^2 + b^2 + c^2; p^3 - 3pq + 3r = a^3 + b^3 + c^3[/tex]
Biến đổi bất đẳng thức chứa ba biến a; b; c nói trên về bất đẳng thức chứa ba biến p; q; r phép chứng minh đôi khi sẽ đơn giản hơn với việc áp dụng các bất đẳng thức sau:
[tex]p^2 \geq 3q (1); p^3 \geq 27r (2); q^2 \geq 3pr (3); pq \geq 9r (4); p^3 - 4pq + 9r \geq 0 (5)[/tex]
Chúng ta dễ dàng nhận thấy rằng: p; q; r và các biểu thức chứa p; q; r ở trên đều không âm. Việc chứng minh các đẳng thức và bất đẳng thức trên không khó xin được phép dành cho các bạn. Sau đây là một số ví dụ minh họa:
Lý thuyết về phương pháp p, q, r các bạn đã được làm quen sơ bộ. Để củng cố lại nền tảng lý thuyết còn có vẻ hơi mơ hồ. mời bạn tham khảo một số ví dụ và bài tập sau đây:
Ví dụ 1:
Cho ba số dương a; b; c thỏa mãn điều kiện abc = 1. Chứng minh rằng:
[tex](a+b)(b+c)(c+a)\geq 2(1+a+b+c)[/tex]
Lời giải:
Do r = abc = 1, với cách đổi biến trên, bất đẳng thức (BĐT) trở thành:
pq - r = 2(1+p) <=> pq - 1 [tex] \geq [/tex] 2(1+p) <=> p(q-2) [tex] \geq [/tex] 3
Cũng do r=1, từ (2) suy ra [tex] p \geq 3 [/tex], từ (2) suy ra [tex] q \geq 3 [/tex] .
=> [tex] p(q-2) \geq 3 [/tex] là BĐT đúng. Suy ra BĐT cần phải chứng minh
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi: p = q = 3 <=> a = b = c = 1.
Ví dụ 2: Cho ba số dương a; b; c thỏa mãn điều kiện a + b + c = 3. Chứng minh rằng:
[tex] abc + \frac{12}{ab + bc + ca} \geq 5[/tex]
Lời giải:
Với cách đổi biến trên BĐT trở thành: [tex] r + \frac{12}{q} \geq 5 [/tex] (*)
Do p = a + b + c = 3 nên theo (5) ta có: [tex] 27 -12q + 9r \geq 0 [/tex], suy ra [tex] r \geq \frac{4q-9}{3} => r + \frac{12}{q} \geq \frac{4q-9}{3} + \frac{12}{q} [/tex] (**). Mặt khác, [tex] \frac{4q-9}{3} + \frac{12}{q} \geq 5 [/tex] <=> [tex] 4q^2 - 9q + 36 \geq 15q <=> (q-3)^2 \geq 0[/tex], là BĐT đúng với mọi q. Từ (*) và (**) suy ra BĐT cần phải chứng minh.
Dăng thức xảy ra khi và chỉ khi a = b = c = 1
Ví dụ 3: Cho ba số không âm a; b; c không âm thỏa mãn điều kiện: ab + bc + ca + abc = 4. Chứng minh rằng:
[tex]3(a^2 + b^2 + c^2) + abc \geq 10 [/tex]
Lời giải:
Do q + r = ab + bc + ca + abc = 4, với cách đổi biến trên BĐT trở thành [tex] 3(p^2 - 2q) + r \geq 10 <=> 3p^2 - 6 \geq 7q. [/tex]Mặt khác từ [tex](5) => p^3 - 4pq + 9(q+r) \geq 9q => p^3 + 36 \geq 9q + 4pq => q \leq \frac{p^3 + 36}{4p + 9}.[/tex]
Thật vậy từ (2) ta suy ra:
[tex]4= q + r \leq \frac{p^2}{3} + \frac{p^3}{27} => p^3 + 9p^2 - 108 \geq 0 => (p-3)(p^2 + 12p + 36) \geq 0 => p \geq 3[/tex]
Từ đó ta có: [tex]3p^2 - 6 \geq 7.\frac{p^3 + 36}{4p + 9}[/tex]
[TEX]<=> 12p^3 - 24p +27p^2 - 54 \geq 7p^3 + 252[/TEX]
[TEX]<=> 5p^3 + 27p^2 - 24p - 306 \geq 0[/TEX]
[TEX]<=> (p-3)(5p^2 + 42p + 102) \geq 0[/TEX] là BĐT đúng.
Đẳng thức xảy ra <=> a = b = c = 1.
Ví dụ 4: cho ba số dương a;b;c thỏa ab + bc + ca = 3. Chứng minh rằng:
[tex] \frac{1}{a+b} + \frac{1}{b+c} + \frac{1}{c+a} \geq \frac{a+b+c}{2(ab+bc+ca)} + \frac{3}{a+b+c} [/tex]
Lời giải: Do q = ab + bc + ca = 3, với cách đổi biến như trên, BĐT trở thành:
[tex] \frac{p^2 + q}{pq - r} \geq \frac{p}{2q} + \frac{3}{p} <=> \frac{p^2 + 3}{3p - r} \geq \frac{p}{6} + \frac{3}{p}[/tex]
[TEX]<=>(p^2 + 3)6p + (p^2 + 18)(3p - r) \geq 0[/TEX]
[TEX]<=>6p^3 + 18p - 3p^3 - 54p + p^2r + 18r \geq0[/TEX]
[TEX]<=>3p^3 - 36p + p^2r + 18r \geq 0[/TEX]
[TEX]<=>3(p^3 - 12p + 9r ) + rp^2 - 9r \geq 0 [/TEX]
[tex]<=>3(p^3 - 4pq + 9r) + r(p^2 - 9) \geq 0 [/tex]
Do q = 3 , từ (1) ta suy ra [tex]p^2 \geq 9 [/tex], kết hợp với (5), ta có BĐT trên đúng => BĐT cần chứng minh
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a = b = c = 1
ps: Đây là PP mạnh trong những PP hiện đại để chứng minh BDT. Tư tưởng của PP thì người đọc cũng dễ dàng nắm bắt và hiểu được. Nhưng việc ghi nhớ những BDT phát sinh ra từ việc đặt ẩn và việc dử dụng pp này là cả một vấn đề.
cái này là m` copy dc từ nơi khác
Đổi biến để chứng minh một dạng Bất Đẳng Thức
(Phương Pháp p; q; r)
Đối với một số bài toán chứng minh bất đẳng thức chứa ba biến a; b; c không âm, có vai trò như nhau (Bình đẳng), bằng cách đặt:
p= a+b+c, q = ab+bc+ca, r = abc, ta có pq - r = (a+b)(b+c)(c+a); [tex]p^2 + q [/tex] = (a+b)(b+c) + (b+c)(c+a) + (c+a)(a+b); [tex]p^2 - 2q = a^2 + b^2 + c^2; p^3 - 3pq + 3r = a^3 + b^3 + c^3[/tex]
Biến đổi bất đẳng thức chứa ba biến a; b; c nói trên về bất đẳng thức chứa ba biến p; q; r phép chứng minh đôi khi sẽ đơn giản hơn với việc áp dụng các bất đẳng thức sau:
[tex]p^2 \geq 3q (1); p^3 \geq 27r (2); q^2 \geq 3pr (3); pq \geq 9r (4); p^3 - 4pq + 9r \geq 0 (5)[/tex]
Chúng ta dễ dàng nhận thấy rằng: p; q; r và các biểu thức chứa p; q; r ở trên đều không âm. Việc chứng minh các đẳng thức và bất đẳng thức trên không khó xin được phép dành cho các bạn. Sau đây là một số ví dụ minh họa:
Lý thuyết về phương pháp p, q, r các bạn đã được làm quen sơ bộ. Để củng cố lại nền tảng lý thuyết còn có vẻ hơi mơ hồ. mời bạn tham khảo một số ví dụ và bài tập sau đây:
Ví dụ 1:
Cho ba số dương a; b; c thỏa mãn điều kiện abc = 1. Chứng minh rằng:
[tex](a+b)(b+c)(c+a)\geq 2(1+a+b+c)[/tex]
Lời giải:
Do r = abc = 1, với cách đổi biến trên, bất đẳng thức (BĐT) trở thành:
pq - r = 2(1+p) <=> pq - 1 [tex] \geq [/tex] 2(1+p) <=> p(q-2) [tex] \geq [/tex] 3
Cũng do r=1, từ (2) suy ra [tex] p \geq 3 [/tex], từ (2) suy ra [tex] q \geq 3 [/tex] .
=> [tex] p(q-2) \geq 3 [/tex] là BĐT đúng. Suy ra BĐT cần phải chứng minh
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi: p = q = 3 <=> a = b = c = 1.
Ví dụ 2: Cho ba số dương a; b; c thỏa mãn điều kiện a + b + c = 3. Chứng minh rằng:
[tex] abc + \frac{12}{ab + bc + ca} \geq 5[/tex]
Lời giải:
Với cách đổi biến trên BĐT trở thành: [tex] r + \frac{12}{q} \geq 5 [/tex] (*)
Do p = a + b + c = 3 nên theo (5) ta có: [tex] 27 -12q + 9r \geq 0 [/tex], suy ra [tex] r \geq \frac{4q-9}{3} => r + \frac{12}{q} \geq \frac{4q-9}{3} + \frac{12}{q} [/tex] (**). Mặt khác, [tex] \frac{4q-9}{3} + \frac{12}{q} \geq 5 [/tex] <=> [tex] 4q^2 - 9q + 36 \geq 15q <=> (q-3)^2 \geq 0[/tex], là BĐT đúng với mọi q. Từ (*) và (**) suy ra BĐT cần phải chứng minh.
Dăng thức xảy ra khi và chỉ khi a = b = c = 1
Ví dụ 3: Cho ba số không âm a; b; c không âm thỏa mãn điều kiện: ab + bc + ca + abc = 4. Chứng minh rằng:
[tex]3(a^2 + b^2 + c^2) + abc \geq 10 [/tex]
Lời giải:
Do q + r = ab + bc + ca + abc = 4, với cách đổi biến trên BĐT trở thành [tex] 3(p^2 - 2q) + r \geq 10 <=> 3p^2 - 6 \geq 7q. [/tex]Mặt khác từ [tex](5) => p^3 - 4pq + 9(q+r) \geq 9q => p^3 + 36 \geq 9q + 4pq => q \leq \frac{p^3 + 36}{4p + 9}.[/tex]
Thật vậy từ (2) ta suy ra:
[tex]4= q + r \leq \frac{p^2}{3} + \frac{p^3}{27} => p^3 + 9p^2 - 108 \geq 0 => (p-3)(p^2 + 12p + 36) \geq 0 => p \geq 3[/tex]
Từ đó ta có: [tex]3p^2 - 6 \geq 7.\frac{p^3 + 36}{4p + 9}[/tex]
[TEX]<=> 12p^3 - 24p +27p^2 - 54 \geq 7p^3 + 252[/TEX]
[TEX]<=> 5p^3 + 27p^2 - 24p - 306 \geq 0[/TEX]
[TEX]<=> (p-3)(5p^2 + 42p + 102) \geq 0[/TEX] là BĐT đúng.
Đẳng thức xảy ra <=> a = b = c = 1.
Ví dụ 4: cho ba số dương a;b;c thỏa ab + bc + ca = 3. Chứng minh rằng:
[tex] \frac{1}{a+b} + \frac{1}{b+c} + \frac{1}{c+a} \geq \frac{a+b+c}{2(ab+bc+ca)} + \frac{3}{a+b+c} [/tex]
Lời giải: Do q = ab + bc + ca = 3, với cách đổi biến như trên, BĐT trở thành:
[tex] \frac{p^2 + q}{pq - r} \geq \frac{p}{2q} + \frac{3}{p} <=> \frac{p^2 + 3}{3p - r} \geq \frac{p}{6} + \frac{3}{p}[/tex]
[TEX]<=>(p^2 + 3)6p + (p^2 + 18)(3p - r) \geq 0[/TEX]
[TEX]<=>6p^3 + 18p - 3p^3 - 54p + p^2r + 18r \geq0[/TEX]
[TEX]<=>3p^3 - 36p + p^2r + 18r \geq 0[/TEX]
[TEX]<=>3(p^3 - 12p + 9r ) + rp^2 - 9r \geq 0 [/TEX]
[tex]<=>3(p^3 - 4pq + 9r) + r(p^2 - 9) \geq 0 [/tex]
Do q = 3 , từ (1) ta suy ra [tex]p^2 \geq 9 [/tex], kết hợp với (5), ta có BĐT trên đúng => BĐT cần chứng minh
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a = b = c = 1
ps: Đây là PP mạnh trong những PP hiện đại để chứng minh BDT. Tư tưởng của PP thì người đọc cũng dễ dàng nắm bắt và hiểu được. Nhưng việc ghi nhớ những BDT phát sinh ra từ việc đặt ẩn và việc dử dụng pp này là cả một vấn đề.
cái này là m` copy dc từ nơi khác