Toán 9 Đường tròn (O) đường kính AB, đường thẳng CD cắt (O) lần lượt tại E, F sao cho E nằm trên cung nhỏ..

[Anhnguyen252003]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Trong mặt phẳng cho đoạn AB, điểm M là điểm di động giữa hai điểm A và B sao cho AM < BM. Vẽ hai đường tròn đường kính Am và BM có tâm lần lượt là có tâm O1 và O2 , tiếp tuyến chung ngoài của hai đường tròn tiếp xúc với ( O1) taijC, tiếp xúc với (O2) tại D. Gọi I là giao điểm của hai đường thẳng AC và BD.
a, Chứng minh tứ giác ABCD là tứ giác nội tiếp và IM là tiếp tuyến chung của hai đường tròn (O1) , (O2).
b,Chứng minh rằng [tex]DC^{2}[/tex] = IB.ID
c, Khi AM = 3cm, BM= 6cm. Đường tròn (O) đường kính AB, đường thẳng CD cắt (O) lần lượt tại E, F sao cho E nằm trên cũng nhỏ AF. Tính độ dài EF
@Blue Plus , @iceghost @quynhphamdq
Các bạn trình bày rõ giúp mình nha Mình cần câu c.

 

[Ann Lee]

Trong mặt phẳng cho đoạn AB, điểm M là điểm di động giữa hai điểm A và B sao cho AM < BM. Vẽ hai đường tròn đường kính Am và BM có tâm lần lượt là có tâm O1 và O2 , tiếp tuyến chung ngoài của hai đường tròn tiếp xúc với ( O1) taijC, tiếp xúc với (O2) tại D. Gọi I là giao điểm của hai đường thẳng AC và BD.
a, Chứng minh tứ giác ABCD là tứ giác nội tiếp và IM là tiếp tuyến chung của hai đường tròn (O1) , (O2).
b,Chứng minh rằng [tex]DC^{2}[/tex] = IB.ID
c, Khi AM = 3cm, BM= 6cm. Đường tròn (O) đường kính AB, đường thẳng CD cắt (O) lần lượt tại E, F sao cho E nằm trên cũng nhỏ AF. Tính độ dài EF
@Blue Plus , @iceghost @quynhphamdq
Các bạn trình bày rõ giúp mình nha

b) Tứ giác CIDM là hình chữ nhật nên CD=IM.
Có IM là tiếp tuyến của hai đường tròn (O2) (câu a) nên ta chứng minh được [tex]\Delta IMD\sim \Delta IBM(g-g)\Rightarrow IM^2=ID.IB\Leftrightarrow CD^2=ID.IB(dpcm)[/tex]
c) Cách dài
Bạn cần chứng minh tam giác ABI vuông tại I, điểm I thuộc (O) trước tiên và những thứ liên quan để áp dụng hệ thức giữa cạnh và đường cao trong tam giác vuông (máy phần này dễ nên mình sẽ không chứng minh)

Theo hệ thức giữa cạnh và đường cao trong tam giác vuông
[tex]BI^2=BM.BA=6.9=54\Rightarrow BI=3\sqrt{6}[/tex]
[tex]BM^2=BD.BI\Rightarrow BD=\frac{BM^2}{BI}=\frac{36}{3\sqrt{6}}=2\sqrt{6}[/tex]
[tex]\Rightarrow DI=BI-BD=3\sqrt{6}-2\sqrt{6}=\sqrt{6}[/tex]
Theo câu b thì:
[tex]CD^2=IB.ID=3\sqrt{6}.\sqrt{6}=18\Rightarrow CD=3\sqrt{2}[/tex]
[tex]\Delta IDE\sim \Delta FDB(g-g)\Rightarrow DE.DF=DI.DB\Leftrightarrow DE.DF=12[/tex]
Tương tự: [tex]CE.CF=6[/tex]
Ta có: [tex]DE.DF=12\Leftrightarrow DF.(DC+CE)=12\Leftrightarrow DF(3\sqrt{2}+CE)=12[/tex]
[tex]CE.CF=6\Leftrightarrow CE.(DC+DF)=6\Leftrightarrow CE(3\sqrt{2}+DF)=6[/tex]
Suy ra [tex]DF(3\sqrt{2}+CE)-CE(3\sqrt{2}+DF)=12-6\Leftrightarrow 3\sqrt{2}(DF+CE)=6\Leftrightarrow DF+CE=\sqrt{2}\Leftrightarrow DF=\sqrt{2}-CE[/tex]
Thay [TEX]DF=\sqrt{2}-CE[/TEX] vào [TEX]DF(3\sqrt{2}+CE)=12[/TEX] thì sẽ tính được [TEX]CE[/TEX]
Từ đó tính được [TEX]DF[/TEX] và cuối cùng là [TEX]EF=EC+CD+DF[/TEX]

 

[iceghost]

a) Kẻ tiếp tuyến chung của $(O_1)$ và $(O_2)$ qua $M$ cắt $CD$ tại $J$, có $JC = JM = JD$ nên $\triangle{CMD}$ vuông tại $M$, có $ICMD$ là hình chữ nhật, mà $J$ là trung điểm $CD$ nên $J$ là trung điểm $IM$ và $I, J, M$ thẳng hàng. Tới đây $IC \cdot IA = IM^2 = ID \cdot IB$ nên $ACDB$ nt
b) Dễ rồi
c) Có $\widehat{ICE} = 180^\circ - \widehat{ICD} = 180^\circ - \widehat{IBA} = \widehat{IEA}$ nên $\triangle{IEC} \sim \triangle{IAE}$, suy ra $IE^2 = IC \cdot IA = IM^2$. Tương tự cũng có $IF^2 = IM^2$, từ đó có $IE = IF = IM$
Từ đây bạn kẻ $IN \perp EF$ thì $N$ là trung điểm $EF$. Dùng hệ thức lượng hay cái gì đó bạn sẽ tính được $IC, ID$ và tính được $IN$. Ngoài ra còn tính được $IM$ nữa, từ đó suy ra $IE$, tới đây dùng Pytago sẽ có $EF = 2EN = 2\sqrt{IE^2 - IN^2}\ldots$

 

[Anhnguyen252003]

View attachment 66022
a) Kẻ tiếp tuyến chung của $(O_1)$ và $(O_2)$ qua $M$ cắt $CD$ tại $J$, có $JC = JM = JD$ nên $\triangle{CMD}$ vuông tại $M$, có $ICMD$ là hình chữ nhật, mà $J$ là trung điểm $CD$ nên $J$ là trung điểm $IM$ và $I, J, M$ thẳng hàng. Tới đây $IC \cdot IA = IM^2 = ID \cdot IB$ nên $ACDB$ nt
b) Dễ rồi
c) Có $\widehat{ICE} = 180^\circ - \widehat{ICD} = 180^\circ - \widehat{IBA} = \widehat{IEA}$ nên $\triangle{IEC} \sim \triangle{IAE}$, suy ra $IE^2 = IC \cdot IA = IM^2$. Tương tự cũng có $IF^2 = IM^2$, từ đó có $IE = IF = IM$
Từ đây bạn kẻ $IN \perp EF$ thì $N$ là trung điểm $EF$. Dùng hệ thức lượng hay cái gì đó bạn sẽ tính được $IC, ID$ và tính được $IN$. Ngoài ra còn tính được $IM$ nữa, từ đó suy ra $IE$, tới đây dùng Pytago sẽ có $EF = 2EN = 2\sqrt{IE^2 - IN^2}\ldots$

phần a chỗ này mình chưa rõ cho lắm

 

[quynhphamdq]

phần a chỗ này mình chưa rõ cho lắm

Cụ thể được không bạn ?

 

[Anhnguyen252003]

Cụ thể được không bạn ?

cái chỗ nối IM với CD í ạ..ko còn cách khác ạ..cách này đoạn sau hơi khó hiểu ạ

 

[quynhphamdq]

cái chỗ nối IM với CD í ạ..ko còn cách khác ạ..cách này đoạn sau hơi khó hiểu ạ

 

[Anhnguyen252003]

View attachment 66661

còn chỗ này ạ: IM là tiếp tuyến chung của hai đường tròn (O1) , (O2).

 

[quynhphamdq]

còn chỗ này ạ: IM là tiếp tuyến chung của hai đường tròn (O1) , (O2).

thấy chỗ chị viết nhỏ nhở ở góc phải không
nó đó :3