Toán hình nâng cao

[h2so3]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Cho hai đường tròn tâm O và O` cắt nhau tại A,B. Tiếp tuyến của (O) tại cắt O`B tại M, tiếp tuyến của(O`) tại A cắt OB tại N. Chứng minh rằng MN song song với OO`

 

[huongmot]

Gọi giao của AN và OO' là I; giao của AM và OO' là G
Nối: B-I; B-G
Vì $I\in OO'$ là đường trung trực của AB
\Rightarrow $\widehat{IAB}=\widehat{IBA}$
Vì $\triangle AO'B$ cân
nên $\widehat{ABO'}=\widehat{BAO'}$
\Rightarrow $\widehat{IAB}+\widehat{BAO'}=\widehat{IBA}+ \widehat{ABO'}=90^o$
\Rightarrow Tứ giác IAO'B nội tiếp
nên $\widehat{AO'B}=\widehat{NIB}$ (góc trong bằng góc ngoài đỉnh đối)
nên $\triangle NIB \sim \triangle MO'A$ (gg) (cm: $\widehat{NBI}= \widehat{MAO'}$ do cùng phụ với 2 góc bằng nhau)
\Rightarrow $\widehat{INB}=\widehat{AMO'}$
\Rightarrow Tứ giác NAMB nội tiếp (góc trong bằng góc ngoài đỉnh đối)
nên $\widehat{BNM}=\widehat{BAM}$
Mặt khác: $\widehat{BAM}=\widehat{BOG}$ (do tứ giác OAGB nội tiếp, cm dễ dàng)
nên $\widehat{BNM}=\widehat{BOG}$
Mà chúng đồng vị
\Rightarrow $NM// OO'$ (đpcm)