Toán Hình khó

[minhduc_nguyen]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Cho hình vuông ABCD và tứ giác MNPQ có 4 đỉnh M, N, P, Q thuộc các cạnh AB, BC, CD, DA của hình vuông ABCD.
a, Chứng minh rằng: $S ABCD$ \leq $\frac{AC}{4}$ .(MN + PQ + NP + QM)
b, Xác định dạng của MNPQ để chu vi tứ giác đó nhỏ nhất

 

[tien_thientai]

Cho hình vuông ABCD và tứ giác MNPQ có 4 đỉnh M, N, P, Q thuộc các cạnh AB, BC, CD, DA của hình vuông ABCD.
a, Chứng minh rằng: $S ABCD$ \leq $\frac{AC}{4}$ .(MN + PQ + NP + QM)
b, Xác định dạng của MNPQ để chu vi tứ giác đó nhỏ nhất

a. Ta có:
a>0; b>0 thì:$\sqrt{a^2+b^2}$\geq $\frac{a+b}{\sqrt{2}}$
Thật vậy: Bình phương hai vế BĐT (1)
$a^2+b^2\geq \frac{a^2+b^2+2ab}{2}$
\Leftrightarrow $(a-b) ^2$\geq 0
Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi a = b
Áp dụng định lý Pitago và BĐT (1) ta có:

MN=$\sqrt{MB^2+NP^2}$\geq$\frac{MB+NB}{\sqrt{2}}$
Tương tự NP,PQ,QM
MN+NP+PQ+QM\geq$\frac{MB+MA+NB+NC+PC+PD+AQ+QD}{\sqrt{2}}$
$\frac{AC}{4}.(MN+NP+PQ+QM)$\geq $\frac{AB.AC}{\sqrt{2}}$
Vì:$ AC^2$ =$ AB^2$ + $BC^2$ = $2AB^2$ => AC = AB.
Thay vào BĐT (2) ta được:
$\frac{AB.AB\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$\leq $\frac{AC}{4}.(MN+NP+PQ+QM)$
$AB^2$\leq $\frac{AC}{4}$.(MN+NP+PQ+QM)
$S_{ABCD}$\leq $\frac{AC}{4}$.(MN+NP+PQ+QM)
b. Theo câu a
MN, NP, PQ, QM nhỏ nhất\Leftrightarrow MB = NB = NC = PC = PD = QD = QA = AM =
Do đó: Chu vi MNPQ nhỏ nhất\Leftrightarrow M, N, P, Q là trung điểm của AB, BC, CD, AD.