Toán hình khó

[pe_chau_hocgioi]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Cho tam giác ABC nhọn có 3 đường cao AD,BE,CF cắt tại H
1. Cmr: S[TEX]\large\Delt[/TEX]ABC= [TEX]\frac{1}{2}[/TEX].AB.AC.SinA
2. Cmr: [TEX]\frac{BC}{SinA}[/TEX] = [TEX]\frac{AC}{SinB}[/TEX] = [TEX]\frac{AB}{SinC}[/TEX]
3. Cmr: [TEX]AB^2 = AC^2 + BC^2 - 2.BC.AC. cos C.[/TEX]
4.Cho tanB.tanC = 2. Cmr: H là trung điểm AD.
5. Cmr S[TEX]\large\Delt[/TEX]AEF = S[TEX]\large\Delt[/TEX]ABC. [TEX]Cos^2 A[/TEX]; S BEFC = S[TEX]\large\Delt[/TEX]ABC.[TEX]Sin^2 A[/TEX]
6. Cho AB=13, BC=14, CA=15. Tính S[TEX]\large\Delt[/TEX]ABC

 

[angleofdarkness]

Kí hiệu AB = c, BC = a, CA = b. Đặt AD = h.

1)
$\Delta$ ADC vuông ở D \Rightarrow $sin C = \dfrac{AD}{AC} = \dfrac{h}{b}.$

\Rightarrow $h = b. sin C.$

$\Delta$ ABC có AD là đường cao nên $S_{ABC} = \dfrac{1}{2}.AD.BC = \dfrac{1}{2}.a.b.sin C.$

Tương tự suy ra các công thức còn lại.

 

[angleofdarkness]

2)
$\Delta$ ABD có $sin B = \dfrac{AD}{AB} = \dfrac{h}{c}.$

$\Delta$ ACD có $sin C = \dfrac{AD}{AC} = \dfrac{h}{b}.$

\Rightarrow $\dfrac{sin B}{sin C} = \dfrac{h}{c}.\dfrac{b}{h} = \dfrac{b}{c}.$

\Rightarrow $\dfrac{b}{sin B} = \dfrac{c}{sin C}.$

Tương tự \Rightarrow đpcm.

 

[angleofdarkness]

3)
$\Delta$ ABD vuông ở D \Rightarrow $AB^2 = AD^2 + BD^2 = AD^2 + (BC - CD)^2 = AD^2 + BC^2 + CD^2 - 2.BC.CD$

$\Delta$ ACD vuông ở D \Rightarrow $AC^2 = AD^2 + DC^2$

\Rightarrow $AB^2 = AC^2 + BC^2 - 2.BC.CD.$

$\Delta$ ACD vuông ở D \Rightarrow CD = AC. cos C \Rightarrow $AB^2 = AC^2 + BC^2 - 2.BC.AC. cos C.$

Tương tự có hai tỉ số còn lại.

 

[angleofdarkness]

Ta có $S \Delta ABC=\sqrt{p(p-AB)(p-BC)(p-CA)}.$ (Đây là công thức Hê-rông với p là nửa chu vi tam giác)

Thay số AB, BC và CA vào ta được $S \Delta ABC=84.$ (đơn vị diện tích)

 

[angleofdarkness]

5.

Ta c/m $\Delta ABC$ đồng dạng $\Delta AEF$ \Rightarrow $\dfrac{S\Delta AEF}{S\Delta ABC}=\dfrac{AE}{AB}.\dfrac{AF}{AC}=cos^2A.$

\Rightarrow $\Delta AEF=S\Delta ABC.cos^2A$

\Rightarrow $S_{BEFC}=S\Delta ABC-\Delta AEF=S\Delta ABC-S\Delta ABC.cos^2A=S\Delta ABC.sin^2A.$