toán hình khó

[conan98md]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Cho hình vuông ABCD cạnh a, trên cạnh BC,CD lấy 2 điểm E,F thay đổi sao cho EAF = 45 ( E thuộc BC, F thuộc CD, E khác B và C). Đường thẳng BD cắt hai đoạn thẳng AE và AF lần lượt tại M và N. Đường thẳng đi qua A và giao điểm của EN,MF cắt EF tại H .
a) Chứng minh rằng AH vuông góc với EF .
b) Chứng minh rằng EF luôn tiếp xúc với một đường tròn cố định.
c) Tìm vị trí của E,F để diện tích tam giác EFC đạt giá trị lớn nhất.

 

[pe_lun_hp]

Hình vẽ chỉ mang tính minh họa

Gợi ý cách CM.

CM : $\Delta{ABN} \sim \Delta{MAN} \ \ \ \ (g-g)$

\Rightarrow $\widehat{AMD} = \widehat{BAF} = \widehat{AFD}$

\Rightarrow AMFD nội tiếp

Tương tự ta CM đc ABEN nội tiếp.

\Rightarrow $FM \bot AE, EN\bot AF, $

\Rightarrow $AH \bot EF$ (đpcm)

b.

$\widehat{AEH} = \widehat{ANB} = \widehat{AEB}$

\Rightarrow $ \Delta{ABE} = \Delta{AHE}$

\Rightarrow AH=AB

\Rightarrow EF tx với (A;AB) cố định.

c.

CM tương tự có $\Delta{ADF} = \Delta{AHF}$

\RightarrowHE=BE,HF=DF

\Rightarrow CE+CF+EF = 2a

Có $S_{CEF} = \dfrac{1}{2}CE.CF$ \leq $\dfrac{1}{2}.(\dfrac{2a}{2 + \sqrt{2}})^2 = (3-2\sqrt{2})a^2$