Toán hình khó

[tony9khoi]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Các anh chị giúp em bài này với nhé!
Cho tam giác ABC nhọn. Về phía ngoài của tam giác vẽ các tam giác vuông cân ABD và ACE tại A. Gọi M và N lần lượt là trung điểm của BD và CE, P là trung điểm của BC. Chứng minh rằng tam giác PMN vuông cân.

 

[hiensau99]

Xét bài toán phụ 1: Cho $ \triangle ABC; \ D; \ E$ lần lượt là trung điểm AB và AC. CMR: $ DE // BC; DE= \frac{BC}{2}$ Thật vậy:

+Trên tia đối của tia ED lấy điểm M sao cho $EM=ED=\frac{DM}{2}$

+ Xét $\triangle AED $ và $\triangle CEM $ ta có
$AE=EC$ (gt)
$ \widehat{E_1}= \widehat{E_2}$ (đối đỉnh)
$ED=DM$
$ \Longrightarrow \triangle AED= \triangle CEM $ (cgc)
$ \Longrightarrow \widehat{C_1}= \widehat{A}$ (2 góc tương ứng)
$ \Longrightarrow AB//CM$ (có cặp góc so le trong bằng nhau)

+ Ta có: CM=AD ($ \triangle AED= \triangle CEM $ ). Mà AD=DB (gt) $ \Longrightarrow CM=BD$

+ Xét $\triangle BDM $ và $\triangle MCB $ ta có
$\widehat{B_1}= \widehat{M_2}$ (Do AB//CM)
$CM=BD$ (CM trên)
BM chung
$ \Longrightarrow \triangle BDM= \triangle MCB $ (cgc)
$\Longrightarrow \widehat{B_2}= \widehat{M_1}$
$ \Longrightarrow DE//CB$ (có cặp góc so le trong bằng nhau)

+ ta có $DM=BC \ (\triangle BDM= \triangle MCB )$. Mà $ED=\frac{DM}{2} \Longrightarrow DE=\frac{BC}{2}$

Quay về bài toán chính ta có

+ Ta có: M ; N; P lần lượt là trung điểm của BD; CE và BC nên theo bài toán phụ 1 ta có:
$MP=\frac{DC}{2} \ (1); \ MP//DC ; \ PN= \frac{BE}{2}\ (2); \ PN//BE$

+ Xét $\triangle ADC$ và $\triangle ABE$ ta có:
AD=AB ($ \triangle ABD$ vuông cân ở A)
AE=AC ($ \triangle ACE$ vuông cân ở A)
$ \widehat{DAC} = \widehat{BAE} = \widehat{BAC}+90^o $
$\Longrightarrow \triangle ADC= \triangle ABE$ (cgc)
$\Longrightarrow DC=BE$ (2 cạnh tương ứng) (3)

+ TỪ (1); (2);(3) ta có PM=PN (*)

+ Gọi $DC \cap BE = G$

+$ \triangle ACE$ vuông cân ở A $\Longrightarrow \widehat{C_2}+\widehat{CEA} =90^o$

+ Ta có $\widehat{G_1}$ là góc ngoài tại đỉnh G của $\triangle EGC$ nên $\widehat{G_1}=\widehat{C_1}+\widehat{E_1}+ \widehat{C_2}$. Mà $\widehat{E_2}= \widehat{C_1} \ (\triangle ADC= \triangle ABE) $. Thay vào ta có
$\widehat{G_1}=\widehat{E_2}+\widehat{E_1}+ \widehat{C_2}= \widehat{C_2} +\widehat{CEA}=90^o \Longrightarrow DC \bot BE$

+ Ta có $DC \bot BE; \ MP//DC \Longrightarrow MP \bot BE$

+ Ta có $MP \bot BE; \ PN//BE \Longrightarrow MP \bot NP \Longrightarrow \widehat{MPN}=90^o$ (*)(*)

+ Từ (*) và (*)(*) ta có $\triangle MPN$ vuông cân ở P (Đpcm)

 

[thuythanhthuy]

Cho tam giác ABC can o A ,phan giac CD . Qua D kẻ tia DF vuông góc với DC và tia DE song song với BC. Gọi M là giao điểm của DE với tia phân giác của góc BAC.Chứng minh
DM=1/4CF
HELP ME ! HELP ME !