Gọi AM;AN lần lượt là đường cao và đường trung tuyến của tam giác ABC.
BP;PQ lần lượt là đường cao và đường trung tuyến của tam giác ABC.
Nối N với Q.
Xét [TEX]\Delta ABH [/TEX]và [TEX]\Delta NQO [/TEX] có:
[TEX]\{BAH}=\{QNO}[/TEX] ( 2 góc nhọn có cạnh tg ứng song song)
[TEX]\{ABH}=\{NQO}[/TEX] ( 2 góc nhọn có cạnh tg ứng song song)
[TEX]\Rightarrow \Delta ABH \sim \Delta NQO[/TEX] (g-g)
[TEX]\Rightarrow \frac{AH}{NO}=\frac{AB}{NQ} [/TEX] (1) ( các cặp cạnh tương ứng)
Ta có : AQ = QC (vì Q là trung điểm của AC)
BN = NC (vì N là trung điểm của BC)
[TEX]\Rightarrow[/TEX] QN là đường trung bình của tam giác ABC
[TEX]\Rightarrow[/TEX] QN // AB;QN = [TEX]\frac{1}{2}[/TEX]AB (2) ( tính chất đường trung bình của tam giác ).
Từ (1) và (2) [TEX]\Rightarrow\frac{AH}{NO}=\frac{AB}{NQ} = 2 [/TEX]
Hay:[TEX]\frac{ON}{AH}= \frac{1}{2}[/TEX] ( * )
Vì G là trọng tâm của tam giác ABC nên [TEX]\frac{AG}{AN}=\frac{2}{3}[/TEX]
[TEX]\Rightarrow \frac{GN}{AG} = \frac{1}{2}[/TEX] (**)
Từ ( * ) và (**) suy ra : [TEX]\frac{ON}{AH}=\frac{GN}{AG}[/TEX]
Xét [TEX]\Delta OGN [/TEX]và [TEX]\Delta HGA [/TEX]có:
[TEX] \frac{ON}{AH}=\frac{GN}{AG}[/TEX] ( chứng minh trên)
[TEX]\{GNO}[/TEX] =[TEX]\{GAH}[/TEX] ( 2 góc so le trong của AH // ON vì cùng vuông góc với BC)
[TEX]\Rightarrow\Delta OGN \sim\Delta HGA [/TEX] (c-g-c)
[TEX]\Rightarrow\{OGN} = \{AGH} [/TEX] ( 2 góc tương ứng) (@)
Ta có :[TEX]\{OGN}+\{AGO}= {180}^{0}[/TEX] (@@)
Thay (@) vào (@@) ta được : [TEX]\{HGA} + \{AGO} ={180}^{0}[/TEX]
Vậy ba điểm H ; G ; O thẳng hàng.
[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn