Goi I là trung điểm của BA , K là trung điểm của BH; E là trung điểm của BC \large\Delta ABH có AI = BI , KB= KH
=> IK là đường trung bình của tg ABH => IK =1/2 AH và IK//AH
nối I với O , K với E
\large\Delta BHC có BK=KH, BE=EC=> KE là đường trung bình của \large\Delta BHC=> KE//HC (1)
LẠi có : IO vuông góc với BA (O là giao điểm các đường trung trực ) , CH vuông góc BA ( H là trực tâm)=> IO// KE(2)
từ 1 ,2 => IO//KE
Ta có AH vuông góc với BC( H trực tâm) , OE vuông góc với BC ( O giao điểm các đường trung trực)=> OE//AH
mà IK//AH (cmt)=> IK//OE
tứ giác IKEO có IK//OE(cmt) , KE//OI(cmt)=> tứ giác là hình bình hành => IK=OE mà IK= 1/2 AH (cmt)=> OE=1/2 AH => OE/AH=1/2
xét \large\Delta AHG và \large\Delta GOE có \widehat{HAG} = \widehat{OEG} ( 2 góc so le trong của Ah//OE) , OE/AH=GE/AG=1/2 ( cmt, G là trọng tâm của \large\Delta ABC)
=> \large\Delta AHG ~ \large\Delta EOG(c.g.c)=>HG/GO=AG/GE=1/2 và \widehat{HAG} = \widehat{OEG} mà \widehat{HGA} +\widehat{HGE} = 180 => \widehat{OGE} +\widehat{HGE} = HGO=180=> H, G ,O thẳng hàng