Toán hình học nâng cao

[ailatrieuphu]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Cho tam giác ABC có AB>AC. Từ trung điểm M của BC vẽ một đường thẳng vuông góc với tia
phân giác của góc A, cắt tia phân giác tại H, cắt AB, AC lần lượt tại E và F. CMR:
a/AE=[TEX]\frac{AB+AC}{2}[/TEX]
b/BE=[TEX]\frac{AB-AC}{2}[/TEX]

 

[nangcuong7e]

!!!!

Bài 1: Chứng minh

a,

Xét tam giác AHF và tam giác AHE có:
[TEX]\widehat{AHF} =\widehat{AHE} =90^o[/TEX] (vì MH vuông góc với EF)
AM chung
[TEX]\widehat{FAH} =\widehat{EAH}[/TEX] (vì AH là tia phân giác góc A)

\Rightarrow Tam giác AHF = Tam giác AHE (g.c.g)
\Rightarrow AF = AE (2 cạnh tương ứng) và [TEX]\widehat{AFH} =\widehat{AEH}[/TEX] (2 góc tương ứng) (*)
Kẻ CN (N thuộc EF) sao cho CN song song với AB (hay AE), ta có:
Vì CN song song với AB (hay AE) nên [TEX]\widehat{NCM} =\widehat{EBM}[/TEX] (2 góc so le trong

Xét tam giác CNM và tam giác BEM có:
[TEX]\widehat{NCM} =\widehat{EBM}[/TEX] (ch/minh trên)
CM = MB (vì M là trung điểm BC)
[TEX]\widehat{CMN} =\widehat{BME}[/TEX] (đối đỉnh)

\Rightarrow Tam giác CNM = Tam giác BEM (g.c.g)
\Rightarrow CN = BE (2 cạnh tương ứng) (1)
Mà CN song song với AB (hay AE) nên [TEX]\widehat{CNF} =\widehat{AEH}[/TEX] (2 góc đồng vị)
Lại có: [TEX]\widehat{AFH} =\widehat{AEH}[/TEX] nên [TEX]\widehat{CFN} =\widehat{CNF}[/TEX] \Leftrightarrow Tam giác CFN cân tại C
\Rightarrow CN = CF (2)
Từ (1) và (2) suy ra: CF = BE
Mặt khác: Từ (*) ta có: AF = AE
\LeftrightarrowAC + CF = AB - BE
\LeftrightarrowAC + BE = AB - BE (vì CF = BE)
\LeftrightarrowAB - AC = 2BE
\Leftrightarrow[TEX]\frac{AB-AC}{2}[/TEX] = BE (3)
Mà AB = AE + BE nên AE = AB - BE
\LeftrightarrowAE = AB - [TEX]\frac{AB-AC}{2}{[/TEX]
\LeftrightarrowAE = [TEX]\frac{AB}{2} +\frac{AC}{2} =\frac{AB+AC}{2}[/TEX] (đpcm)
b, Đã được chứng minh ở câu a tại (3)
​

 

[thienbinhgirl]

Từ C kẻ CK//AB
Tam giác AFE có AH vừa là phân giác vừa là đường cao \Rightarrow AFE là tam giác cân \Rightarrow ^F=^AEF mà ^AEF=^CKF (đồng vị ) \Rightarrow tam giác FCK cân tại C nên CF=CK (1)
Ta dễ dàng c/m được tam giác CKM=MBE (G.C.G) \Rightarrow CK=EB (2) . tỪ (1),(2) \Rightarrow CF=EB . Ta có EB=AB-AE \Leftrightarrow EB=AB-AF ( tam giác AFE cân ) \Rightarrow EB=AB-AC-CF \Rightarrow 2BE= AB-AC \Rightarrow BE=AB-AC/2(3)
Từ (3) có AE= AB- EB \Leftrightarrow AE=AB- AB-AC/2 \Rightarrow AE=AB+AC/2 ( mình trả lời ngược thì phải )
:M09::M09::M09:

 

[thienbinhgirl]

Từ C kẻ CK//AB
Tam giác AFE có AH vừa là phân giác vừa là đường cao \Rightarrow AFE là tam giác cân \Rightarrow ^F=^AEF mà ^AEF=^CKF (đồng vị ) \Rightarrow tam giác FCK cân tại C nên CF=CK (1)
Ta dễ dàng c/m được tam giác CKM=MBE (G.C.G) \Rightarrow CK=EB (2) . tỪ (1),(2) \Rightarrow CF=EB . Ta có EB=AB-AE \Leftrightarrow EB=AB-AF ( tam giác AFE cân ) \Rightarrow EB=AB-AC-CF \Rightarrow 2BE= AB-AC \Rightarrow BE=AB-AC/2(3)
Từ (3) có AE= AB- EB \Leftrightarrow AE=AB- AB-AC/2 \Rightarrow AE=AB+AC/2 ( mình trả lời ngược thì phải )
:M09::M09::M09: