Toán Toán hình học lớp 8, hình thang cân

[thien113_lax]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Cho tam giác ABC đều và một điểm O nằm trong tam giác. Kẻ OM, ON và OP lần lượt vuông góc với các cạnh BC, CA và AB của tam giác ABC. Chứng minh AP+BM+CN không đổi

Giúp với các bạn nhé

 

[iceghost]

Từ lần lượt từ các điểm $A, B, C$ kẻ đường thẳng vuông góc $AB, BC, AC$ cắt nhau lần lượt tại $D, E, F$
Gọi $A', B', C'$ là hình chiếu của $M$ trên $DF, DE, EF$

Xét $\triangle{ABD}$ vuông tại $A$ có :
$\widehat{D} = 90^o - \widehat{DBA} = \widehat{ABC} = 60^o$
CMTT : $\widehat{E} = \widehat{F} = 60^o$
$\implies \triangle{DEF}$ đều
Đặt $DE = DF = EF = a$

Xét tứ giác $AA'OP$ có $\widehat{PAA'} = \widehat{AA'O} = \widehat{APO} = 90^o$
$\implies AA'OP$ là hình chữ nhật
$\implies AP = OA'$
CMTT : $BM = OB'; CN = OC'$

Ta có : $S_{DEF} = S_{ODE} + S_{OEF} + S_{ODF}$
$= \dfrac12.OB'.a + \dfrac12.OC'.a + \dfrac12.OA'.a$
$= \dfrac{a}2(OA'+OB'+OC')$
$\implies OA' + OB' + OC' = \dfrac{2S_{DEF}}{a}$
$\iff AP + BM + CN = \dfrac{2S_{DEF}}{a}$
Tới đây bạn tự CM $S_{DEF}$ và $a$ không đổi nhé