a) Ta có: $\widehat{C}+\widehat{HAC}=90^{\circ}; \widehat{ABH}+\widehat{BAH}=90^{\circ}$ (vì $\triangle AHC$ và $\triangle AHB$ vuông tại $H$)
$AI$ là phân giác $\widehat{BAH}\Rightarrow \widehat{IAH}=\widehat{IAB}=\dfrac{1}{2}\widehat{BAH}=\widehat{C}$ (vì $\widehat{BAH}=2\widehat{C}$)
Suy ra $\widehat{IAH}+\widehat{HAC}=90^{\circ}$
$\Rightarrow \widehat{IAC}=90^{\circ}$ hay $\widehat{IAE}=90^{\circ}\Rightarrow \Delta IAE$ vuông tại $A$ (1)
Lại có: $\widehat{AIE}=\widehat{IAB}+\widehat{IBA}$ (góc ngoài tại đỉnh $I$ của $\triangle ABI$)
Mà $BE$ là phân giác $\widehat{ABH}\Rightarrow \widehat{IBA}=\dfrac{1}{2}\widehat{ABH}$
Suy ra $\widehat{AIE}=\dfrac{1}{2}(\widehat{BAH}+\widehat{ABH})=\dfrac{1}{2}.90^{\circ}=45^{\circ}$ (2)
Từ (1) và (2) suy ra $\triangle AIE$ vuông cân tại $A$
b) Ta có: $AI$ là phân giác $\widehat{BAH};AI\perp AE$ tại $A$
Suy ra $AE$ là phân giác ngoài của $\triangle ABH$ tại $A, \ BE$ là phân giác trong tại $B$ của $\triangle ABH$
$\Rightarrow HE$ là phân giác ngoài tại $H$ của $\triangle BAH$
$\Rightarrow HE$ là phân giác $\widehat{AHC}$ (đpcm)
[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
