Toán 9 Toán hình bài 1

[ngphhg]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

1/ Cho tam giác ABC vuông tại A, có đường cao AH, đường phân giác AD
a) Chứng minh[tex]\frac{AB^{2}}{AC^{2}}=\frac{HB}{HC}[/tex]
b) Biết BD=45 cm, CD=60 cm, tính HB, HC.

2) Cho tam giác DEF vuông tại D, có phân giác DM, đường cao DK, biết DE=30 cm, DF=40 cm. Tính DM.

3) Cho tam giác ABC vuông tại A, trung tuyến AD và BE vuông góc với nhau tại G, biết AB=6 cm. Tính BC.

4) Cho tam giác ABC vuông tại A, có đường cao AK, trung tuyến AD, kẻ DH vuông góc với AC tại H. Chứng minh:
a) [tex]AC^{2}=2CK.AD[/tex]
b) [tex]\frac{1}{AK^{2}}=\frac{1}{AC^{2}}+\frac{1}{4DH^{2}}[/tex]

5) Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH, gọi D, E, F lần lượt là trung điểm AB, AC, HC. Chứng minh [tex]\frac{1}{HD^{2}}+\frac{1}{HE^{2}}=\frac{1}{EF^{2}}[/tex]

 

[H Đ D]

1/ Cho tam giác ABC vuông tại A, có đường cao AH, đường phân giác AD
a) Chứng minh[tex]\frac{AB^{2}}{AC^{2}}=\frac{HB}{HC}[/tex]
b) Biết BD=45 cm, CD=60 cm, tính HB, HC.

Cm
a. Theo hệ thức lượng trong tam giác vuông ta có [tex]AB^2=BH.BC[/tex]
[tex]AC^2=CH.BC[/tex]
Do đó [tex]\frac{AB^2}{AC^2}=\frac{BH.BC}{CH.BC}=\frac{BH}{CH}[/tex]
b. Theo tính chất đường phân giác ta có
[tex]\frac{AB}{AC}=\frac{BD}{DC} \Rightarrow (\frac{AB}{AC})^{2}=(\frac{BD}{DC})^{2}[/tex]
[tex]\Rightarrow \frac{AB^{2}}{AC^{2}}=\frac{DB^{2}}{DC^{2}} \Rightarrow \frac{AB^{2}}{AC^{2}+AB^{2}}=\frac{DB^{2}}{DC^{2}+DB^{2}} \Rightarrow \frac{AB^{2}}{BC^{2}}=\frac{DB^{2}}{DC^{2}+DB^{2}}[/tex]
Tới đây thay DB; DC và BC vào tìm AB từ đó có thể tình BH qua công thức [tex]AB^2=BH.BC[/tex] rồi tìm CH

 

[Ann Lee]

2) Cho tam giác DEF vuông tại D, có phân giác DM, đường cao DK, biết DE=30 cm, DF=40 cm. Tính DM.

Theo hệ thức lượng trong tam giác vuông thì
[tex]\frac{1}{DK^2}=\frac{1}{DE^2}+\frac{1}{DF^2}=\frac{1}{30^2}+\frac{1}{40^2}\Rightarrow DK=24[/tex]
Theo định lý Pythagores có:
[tex]DE^2+DF^2=EF^2\Rightarrow EF=50[/tex]
[tex]DE^2=DK^2+EK^2\Rightarrow EK=18[/tex]
Theo tính chất của đường phân giác thì
[tex]\frac{ME}{MF}=\frac{ED}{FD}=\frac{3}{4}\Rightarrow \frac{ME}{3}=\frac{MF}{4}=\frac{ME+MF}{7}=\frac{50}{7}\Rightarrow ME=\frac{150}{7}[/tex]
Có: $ME>EK$ nên K nằm giữa E và M
Suy ra: [tex]KM=EM-EK=\frac{24}{7}[/tex]
Theo định lý Pythagores có:
[tex]DK^2+KM^2=DM^2\Rightarrow DM=...[/tex]

3) Cho tam giác ABC vuông tại A, trung tuyến AD và BE vuông góc với nhau tại G, biết AB=6 cm. Tính BC.

Có trung tuyến $AD$ và $BE$ vuông góc với nhau tại $G$
=> $G$ là trọng tâm của $\Delta ABC$
[tex]\Rightarrow BG=\frac{2}{3}BE[/tex]
Theo hệ thức lượng trong tam giác vuông thì
[tex]BA^2=BG.BE\Leftrightarrow 6^2=\frac{3}{2}BG^2\Rightarrow BG=2\sqrt{6}[/tex]
Tam giác ABC vuông tại A có đường trung tuyến AD ứng với cạnh huyền BC
=> $BC=2AD$
Theo định lý Pythagores có:
[tex]BA^2=AG^2+BG^2\Rightarrow AG=2\sqrt{3}\Rightarrow AD=3\sqrt{3}\Rightarrow BC=2AD=6\sqrt{3}[/tex]

4) Cho tam giác ABC vuông tại A, có đường cao AK, trung tuyến AD, kẻ DH vuông góc với AC tại H. Chứng minh:
a) [tex]AC^{2}=2CK.AD[/tex]
b) [tex]\frac{1}{AK^{2}}=\frac{1}{AC^{2}}+\frac{1}{4DH^{2}}[/tex]

a) Tam giác ABC vuông tại A có đường trung tuyến AD ứng với cạnh huyền BC
=> $BC=2AD$
Theo hệ thức lượng trong tam giác vuông thì
[tex]CA^2=CK.BC=2CK.AD(dpcm)[/tex]
b) Tam giác ADC cân tại D, đường cao AH
=> AH là đường trung tuyến của AC
=> H là trung điểm của AC
$DH$ là đường trung bình của $Delta ABC$
[tex]\Rightarrow AB=2DH[/tex]
Theo hệ thức lượng trong tam giác vuông thì
[tex]\frac{1}{AK^2}=\frac{1}{AC^2}+\frac{1}{AB^2}=\frac{1}{AC^2}+\frac{1}{4DH^2}(dpcm)[/tex]

5) Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH, gọi D, E, F lần lượt là trung điểm AB, AC, HC. Chứng minh [tex]\frac{1}{HD^{2}}+\frac{1}{HE^{2}}=\frac{1}{EF^{2}}[/tex]

Tam giác vuông có đường trung tuyến ứng với cạnh huyền bằng một nửa cạnh huyền nên:
[tex]HD=\frac{AB}{2};HE=\frac{AC}{2}[/tex]
$EF$ là đường trung bình của $Delta ABC$
[tex]\Rightarrow EF=\frac{AH}{2}[/tex]
Theo hệ thức lượng trong tam giác vuông thì
[tex]\frac{1}{AB^2}+\frac{1}{AC^2}=\frac{1}{AH^2}\Leftrightarrow \frac{1}{HD^{2}}+\frac{1}{HE^{2}}=\frac{1}{EF^{2}} (dpcm)[/tex]