Toán Toán hình 9 - Đề ôn

[tocquan161]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Cho tam giác abc có ba góc nhọn nội tiếp (O,R). D là điểm bất kỳ trên cung BC không chứa A (D khác B,C). Gọi P là trực tâm tâm giác ABC. H, I, K lần lượt là hình chiếu của D trên BC, CA, AB
a. Chứng minh tứ giác AKDI nội tiếp
b. Chứng minh 3 điểm H, I, K thẳng hàng
c. Chứng minh BC/HD = AC/DI + AB/DK

 

[iceghost]

Không mất tính tổng quát, ta chỉ xét TH $K$ nằm ngoài đoạn $AB$
a) Xét tứ giác $AKDI$ có $\widehat{AKD} + \widehat{AID} = 90^\circ + 90^\circ = 180^\circ$ nên $AKDI$ nt
b) Dễ CM được tứ giác $BHDK$ và tứ giác $CIHD$ nt. Khi đó ta có $\widehat{KHD} = \widehat{KBD}$ và $\widehat{DHI} + \widehat{ICD} = 180^\circ$
Mà $\widehat{KBD} = \widehat{ICD}$ ($ABCD$ nt) nên $\widehat{DHI} + \widehat{KHD} = 180^\circ$, suy ra $H, I, K$ thẳng hàng
c) Do $\widehat{DAI} = \widehat{DBH}$ (các góc nt cùng chắn cung $DC$) và $\widehat{AID} = \widehat{BHD} ( = 90^\circ)$ nên $\triangle{ADI} \sim \triangle{BDH}$ (g-g), suy ra $\dfrac{AI}{BH} = \dfrac{DI}{DH}$ hay $\dfrac{AI}{DI} = \dfrac{BH}{DH}$
Tương tự ta cũng có $\dfrac{AK}{DK} = \dfrac{CH}{DH}$. Cộng vế theo vế ta được
$\dfrac{AI}{DI} + \dfrac{AK}{DK} = \dfrac{BC}{DH} \quad (1)$
Lại có $\widehat{KBD} = \widehat{ICD}$ ($ABCD$ nt) và $\widehat{BKD} = \widehat{CID} (=90^\circ)$ nên $\triangle{BKD} \sim \triangle{CID}$ (g-g), suy ra $\dfrac{DK}{DI} = \dfrac{BK}{CI}$ hay $\dfrac{CI}{DI} - \dfrac{BK}{DK} = 0 \quad (2)$
Cộng vế theo vế $(1)$ và $(2)$ ta được $\dfrac{AI + CI}{DI} + \dfrac{AK-BK}{DK} = \dfrac{AC}{DI} + \dfrac{AB}{DK} = \dfrac{BC}{HD}$. Đpcm