Toán hình 8

traphuong0602 · 31 Tháng tám 2015

Cho tam giác ABC, các đường cao AD,BE,CF cắt tại H. Gọi G,I,K là trung điểm các cạnh BC,AC,AB. GỌi M,N,P là trung điểm các đoạn HA,HB,HC.
a, Chứng minh tứ giác KIPN là gình chữ nhật.
b, CHứng minh các đường KP,NF,MG cắt nhau tại 1 điểm và điểm đó cách đều các điểm D,E,F,G,I,K,M,N,P.

iceghost · 2 Tháng chín 2015

a) Xét tứ giác KIPN có :
$KI = \dfrac12BC$ và $KI //BC$ (đường trung bình )
$PN=\dfrac12BC$ và PN // BC$ (đường trung bình )
Vậy KIPN là hình bình hành (*)

Ta có : KI // BC ( đường trung bình )
IP // AH (đường trung bình )
Mà $AH \perp BC$ (đường cao)
$\implies KI \perp IP$ (*)(*)

Từ (*) và (*)(*) $\implies$ KIPN là hình chữ nhật

b) Hình như là KP, NI, MG

Gọi O là giao điểm của KP và NI
Mà KP và NI là hai đường chéo của hình chữ nhật KIPN
$\implies$ O cách đều K, I, P, N (1) và KI, PN cắt nhau tại trung điểm mỗi đường ~O)

Xét tứ giác MIGN có :
$MI = \dfrac12CH$ và $MI //CH$ (đường trung bình )
$GN=\dfrac12CH$ và $GN // CH$ (đường trung bình )
Vậy MIGN là hình bình hành %%-

Ta có : MI // CH ( đường trung bình )
IG // AB (đường trung bình )
Mà $CH \perp AB$ (đường cao)
$\implies MI \perp IG$ %%-%%-

Từ %%-, %%-%%- $\implies$ MIGN là hình chữ nhật
$\implies$ MG, IN cắt nhau tại trung điểm mỗi đường ~O) ~O)

Từ ~O), ~O)~O) $\implies$ KP, NI, MG cắt nhau tại O (2)
Mà NI, MG là hai đường chéo hình chữ nhật
$\implies$ O cách đều M, I, G, N (3)

Xét $\triangle$ MDG vuông tại D có :
OD là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền
$\implies OD = \dfrac12MG =OM=OG$
$\implies$ O cách đều M, G, D (4)

Xét $\triangle$ KFP vuông tại F có :
OF là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền
$\implies OF = \dfrac12KP = OK = OP$
$\implies$ O cách đều K, P, F (5)

Xét $\triangle$ NEI vuông tại E có :
OE là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền
$\implies OE = \dfrac12 NI = ON = OI$
$\implies$ O cách đều I, N, E (6)

Từ (1), (2), (3), (4), (5), (6) $\implies$ dpcm

Tìm kiếm

Tìm kiếm

Toán hình 8

traphuong0602

iceghost