toán hình 8

[phuongthao.24]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Cho tam giác nhọn ABC, có góc A bằng 70độ gọi M là điểm bất kì thuộc cạnh BC. Gọi D lần lượt là các điểm đối xứng của M qua AB và AC, DE cắt AB và AC theo thứ tự tại I và K
a. tính các góc của tam giác ADE
b. chứng minh MA là phân giác của góc IMK
c. xác định vị trí của điểm M trên cạnh BC để DE có độ dài nhỏ nhất

 

[iceghost]

a) Gọi P và Q lần lượt là giao điểm của MD, ME với AB, AC

Xét $\triangle$ ADM có :
AP là đường cao
AP đồng thời là đường trung tuyến
Vậy $\triangle$ ADM cân tại A
\Rightarrow AD = AM (1) và AP là đường phân giác

Xét $\triangle$ AEM có :
AQ là đường cao
AQ đồng thời là đường trung tuyến
Vậy $\triangle$ AEM cân tại A
\Rightarrow AE = AM (2) và AQ là đường phân giác

Từ (1), (2) \Rightarrow AD = AE
\Rightarrow $\triangle$ ADE cân tại A
\Rightarrow $\widehat{ADE}=\widehat{AED}=\frac{180^o-\widehat{EAD}}{2}$
Mà $\widehat{EAD}=\widehat{DAM}+\widehat{EAM}= 2\widehat{PAM}+2\widehat{QAM}=2\widehat{BAC}=140^o$
\Rightarrow $\widehat{ADE}=\widehat{AED}=\frac{180^o-140^o}{2}=20^o$

b) Gọi F và G lần lượt là giao điểm của MI, MK với AD, AE

Xét $\triangle$ IDM có :
IP là đường cao
IP đồng thời là đường trung tuyến
\Rightarrow $\triangle$ IDM cân
\Rightarrow IP là đường phân giác

Xét $\triangle$ KEM có :
KQ là đường cao
KQ đồng thời là đường trung tuyến
\Rightarrow $\triangle$ KEM cân
\Rightarrow KQ là đường phân giác

Ta có : $\widehat{FIA} = \widehat{PIM}$ ( đối đỉnh )
$\widehat{KIA} = \widehat{PID}$ ( đối đỉnh )
Mà $\widehat{PIM} = \widehat{PID}$ ( IP là đường phân giác )
\Rightarrow $\widehat{FIA} = \widehat{KIA}$
\Rightarrow IA là tia phân giác $\widehat{FIK}$

Ta có : $\widehat{GKA} = \widehat{QKM}$ ( đối đỉnh )
$\widehat{IKA} = \widehat{QKE}$ ( đối đỉnh )
Mà $\widehat{QKM} = \widehat{QKE}$ ( IP là đường phân giác )
\Rightarrow $\widehat{GKA} = \widehat{IKA}$
\Rightarrow KA là tia phân giác $\widehat{GKI}$

Xét $\triangle$ IKM có :
IA là tia phân giác $\hat{I}$ ngoài
KA là tia phân giác $\hat{K}$ ngoài
Mà K là giao điểm của IA và KA
\Rightarrow AM là tia phân giác $\hat{M}$ trong
Hay AM là tia phân giác $\widehat{IMK}$