[Toán hình 8] Nâng cao

[hongnhung.2002]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

1)Cho tứ giác ABCD, E là giao điểm của các đường thẳng AB và CD, F là giao điểm của các đường thẳng BC và AD. Các tia phân giác của các góc E và F cắt nhau ở I. Chứng minh rằng:
a)Nếu [TEX]\widehat{BAD} = 30^o [/TEX], [TEX]\widehat{BCD} = 50^o[/TEX] thì IE vuông góc với IF.
b)Góc EIF bằng nửa tổng của 1 trong 2 cặp góc đối của tứ giác ABCD.
2)Chứng minh rằng nếu M là giao điểm các đường chéo của tứ giác ABCD thì MA+MB+MC+MD nhỏ hơn chu vi nhưng lớn hơn nửa chu vi tứ giác
3)So sánh độ dài cạnh AB và đường chéo AC của tứ giác ABCD biết rằng chu vi tam giác ABD nhỏ hơn hoặc bằng chu vi tam giác ACD
4)Tứ giác ABCD có O là giao điểm của hai đường chéo, AB=6,OA=8,OB=4,OD=6. Tính độ dài AD
5)Cho 5 điểm trên mặt phẳng trong đó không có ba điểm nào thẳng hàng.Chứng minh rằng bao giờ cũng có thể chọn ra được 4 điểm là đỉnh của 1 tứ giác lồi.

 

[thangvegeta1604]

2) -Ta có: $MA+MB>AB, MB+MC>BC, MC+MD>CD, MD+MA>AD$ (Bất đẳng thức tam giác).
\Rightarrow $2.(MA+MB+MC+MD)>AB+BC+CD+AD.$
\Rightarrow $MA+MB+MC+MD>\dfrac{AB+BC+CD+AD}{2}$. (1).
-Ta có: $MA+MB+MC+MD=(MA+MC)+(MB+MD)=AC+BD$.
Mà $AC<AB+BC$, $AC<AD+CD$ (Bất đẳng thức tam giác).
\Rightarrow $2AC<AB+BC+CD+AD$.
Tương tự: $2BD<AB+BC+CD+AD$.
Do đó: $2AC+2BD<2.(AB+BC+CD+AD)$.
\Rightarrow $AC+BD<AB+BC+CD+AD$.
\Rightarrow $MA+MB+MC+MA<AB+BC+CD+AD$ (2)
Từ (1) và (2)\Rightarrow $\dfrac{AB+BC+CD+AD}{2}<MA+MB+MC+MA<AB+BC+CD+AD$

 

[Outlook.D.Sabo]

Gọi H, K lần lượt là giao điểm của đường thẳng FM với EB, EA

Ta có: EHK=BCF+KFD (1)

(EHK là góc ngoài của tam giác HFC)

Và EKM=BAD+BFK (2)

( EKM là góc ngoài của tam giác FAK)

Tứ giác ABCD có
BAD+ADC+DCB+ABC=360
Mà ABC+CDA=180 nên BAD+BCD=180

BCF+BCD+180(hai góc kề bù) nên BAD=BCF (3)

Ta lại có: KFD=BFK (4)

Từ (1); (2); (3); (4) suy ra: EHK=EKM

Do đó, tam giác EHK cân tại E.

Lại có EM là đường phân giác của tam giác EHK nên EM đồng thời là đường cao.

Nên, IE vuông góc vớiIF.=>đpcm