Xét bài toán sau:Cho tam giác ABC,trọng tâm G.Vẽ đường thẳng d qua G,cắt AB,AC.Gọi A',B',C' là hình chiếu của A,B,C trên d.Tìm liên hệ giữa các độ dài AA',BB',CC'.
Giải
Kéo A với G cắt BC tại M ta được trung tuyến AM.Lấy I là trung điểm của AG hay AI=IG=GM(Theo t/c đường trung tuyến)
Từ M kẻ đường thẳng vuông góc cắt d tại H,từ I kẻ đường vuông góc với d tại điểm E.
Xét tam giác IHG và tam giác MGH có:
$\widehat{MHB'}$=$\widehat{IEC'}$=$90^o$
IG=GM(c/m trên)
$\widehat{MGH}$=$\widehat{IGB'}$(đđ)
=>Tam giác IHG=Tam giác MGH(cạnh huyền-góc nhọn)
=>HM=IG(hai cạnh tương ứng)
Ta có I là trung điểm của AG(gt) và IE//AA'
=>IE là đường trung bình của tam giác HAA' =>IE=$\dfrac{1}{2}$.AA' hay AA'=IE.2
Tiếp ta có M là trung điểm của BC và MH//CC'//BB'(do các đường này cùng vuông góc với đường thẳng d)=>HM là đường trung bình của hình thang BB'C'C.
=>HM=$\dfrac{1}{2}$.(BB'+CC') hay BB'+CC'=2.HM
=>AA'=BB'+CC'
Từ bài trên ta liên hệ với bài này thì để AH=$\dfrac{BI+CK}{2}$ khi A trùng với I,E trùng với G,G là điểm D,B' là điểm I,C' là điểm K. hay nói cách khác để AH=$\dfrac{BI+CK}{2}$ thì D phải là trung điểm của tuyến AM.
[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn