Toán hay

[vuotlensophan]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

1)Cho P=[TEX]{a}^{2}+{b}^{2}+{c}^{2}+{d}^{2}+ac+bd[/TEX]
va ad-bc=1
C/m P\geq[TEX]\sqrt{3}[/TEX]
2) Cho nua đtr(O). Đg kính AB=a,Ax, By là tiếp tuyến. M thuôc (O). Qua M kẻ tiếp tuyến EF của (O)(E thuộc Ax, F thuộc By). K la giao điểm của AF , BE. C/m MK // Ax.
Giả su MB=[TEX]\sqrt{3}[/TEX]MA. Tính [TEX]{S}_{KAB}[/TEX] theo a.

 

[bboy114crew]

1)Cho P=[TEX]{a}^{2}+{b}^{2}+{c}^{2}+{d}^{2}+ac+bd[/TEX]
va ad-bc=1
C/m P\geq[TEX]\sqrt{3}[/TEX]

ta có:
[TEX](ad-bc)^2+(ac+bd)^2=(a^2+b^2)(c^2+d^2) \Leftrightarrow1+(ac+bd)^2=(a^2+b^2)(c^2+d^2) [/TEX]( do ad-bc=1)
áp dụng BDT cauchy:
[TEX](a^2+b^2)+(c^2+d^2) \geq 2\sqrt{(a^2+b^2)(c^2+d^2) } \Leftrightarrow {a}^{2}+{b}^{2}+{c}^{2}+{d}^{2}+ac+bd \geq 2\sqrt{1+(ac+bd)^2}+ac+bd[/TEX]
ta cần CM:
[TEX]2\sqrt{1+(ac+bd)^2}+ac+bd \geq \sqrt{3}[/TEX]

đặt:
[TEX]ac+bd=x;p=2\sqrt{1+x^2}+x[/TEX]
ta có:
[TEX]|x|=\sqrt{x^2} \< 2\sqrt{1+x^2}[/TEX] mà [TEX]|x| \geq -x \Rightarrow p > 0[/TEX]
xét :[TEX]p^2 = (1+x^2)^2+4x\sqrt{1+x^2}+4x^2+3 = (\sqrt{1+x^2}+2x)^2+3 \geq 3 \Rightarrow dpcm[/TEX]

 

[datnickgiday]

2) Cho nua đtr(O). Đg kính AB=a,Ax, By là tiếp tuyến. M thuôc (O). Qua M kẻ tiếp tuyến EF của (O)(E thuộc Ax, F thuộc By). K la giao điểm của AF , BE. C/m MK // Ax.
Giả su MB=[TEX]\sqrt{3}[/TEX]MA. Tính [TEX]{S}_{KAB}[/TEX] theo a.

Ta có : EA //FB (cùng vuông góc AB)
\Rightarrow [TEX]\triangle EKA \sim \triangle BKF[/TEX]
\Rightarrow[TEX]\frac{EA}{FB}=\frac{AK}{FK}[/TEX]

mà EA = EM; FB = FM (t/c 2 tiếp tuyến cắt nhau)nên [TEX]\frac{EM}{FM}=\frac{AK}{FK}[/TEX]
\RightarrowMK // EA //FB

Kéo dài MK cắt AB tại H.

MH // EA mà EA [TEX]\perp [/TEX] AB nên MH [TEX]\perp [/TEX] AB

Theo đề bài MB=[TEX]\sqrt{3}[/TEX]MA \Rightarrow [TEX]\hat{MAB}=60^o[/TEX]

\RightarrowT/g MAO đều \Rightarrow MH là trung tuyến

\RightarrowAH = a/4 ; BH = 3a/4

Kẻ EI vuông góc BF. Đặt EM = AE = x ; FM = BF = y

\RightarrowFI = y - x

Áp dụng định lý Py-ta-go vào t/g EFI:

[TEX]EF^2 - FI^2 = EI^2 = AB^2[/TEX]

\Leftrightarrow[TEX](x+y)^2 - (y-x)^2 = a^2[/TEX]

\Leftrightarrow[TEX]4xy = a^2[/TEX] (1)

Mặt khác: [TEX]\frac{EA}{BF}=\frac{AH}{BH}[/TEX]\Leftrightarrow
[TEX]\frac{x}{y}=\frac{a:4}{3a:4}=\frac{1}{3}[/TEX] (2)

Từ (1),(2) \Rightarrow [TEX]x=\frac{a}{2\sqrt{3}}[/TEX] ; [TEX]y=\frac{\sqrt{3}a}{2}[/TEX]

Diện tích t/g AEB : [TEX]\frac{AE.AB}{2}=\frac{\frac{a}{2\sqrt{3}}.a}{2}[/TEX][TEX]=\frac{a^2}{4\sqrt{3}} [/TEX]

Diện tích t/g AEK : [TEX]\frac{AE.AH}{2}=\frac{\frac{a}{2\sqrt{3}}.\frac{a}{4}}{2}=\frac{a^2}{16\sqrt{3}}[/TEX]

\Rightarrow Diện tích t/g AKB là : [TEX]\frac{a^2}{4\sqrt{3}}-\frac{a^2}{16\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{3}a^2}{16}[/TEX]

Không biết có sai sót j trong tính toán ko nữa :-B