Toán hay và khó cho HSG

[forever98x]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Cho đa thức M = [TEX](xy^2)(x^5y^4)(x^9y^6)(x^{13}y^8)(x^{17}y^{10})...[/TEX] có bậc bằng 3675. Hãy tìm bậc cao nhất của biến x?

Rất hay đó, có ai giải được hok?

 

[soicon_boy_9x]

Gọi bậc cao nhất của biến x và y là m và n.Ta được:
$(xy^2)(x^5y^4)(x^9y^6)+...+(x^ny^m)$
Vì bậc của đa thức trên là 3675 nên:
$(1+5+9+...+n)+(2+4+6+...+m)=3675$
Gọi số chữ số của dãy 1+5+9+...+n và 2+4+6+...+m là x(số chữ số của 2 dãy bằng nhau).Ta có
$n=1+4(x-1)$
$m=2+2(x-1)$
Ta có $(1+5+9+...+n)+(2+4+6+...+m)=\dfrac{x(n+1)}{2}+ \dfrac{x(m+2)}{2}=3675 $
$\dfrac{x[2+4(x-1)]}{2}+\dfrac{x[4+2(x-1)]}{2}=3675$
$\rightarrow x[2+4(x-1)]+x[4+2(x-1)]=7350$
$\rightarrow x.(4x-2)+x(2x+2)=7350$
$\rightarrow 4x^2-2x+2x^2+2x=7350$
$\rightarrow 6x^2=7350$
$\rightarrow x^2=1225$
$\rightarrow x=35$
$\rightarrow n=1+4(35-1)=137$
Vậy bậc cao nhất của biến x là 137

 

[12ab3csy]

Đa thức có dạng [TEX](x^1.x^5.x^9...x^{4n-3})(y^2.y^4...y^{2n})[/tex]
[TEX]\Rightarrow[/TEX] Bậc của đa thức = 1+5+..+(4n-3)+2+4+...+2n=3675
[tex]1+5+...+(4n-3)=\frac{(4n-2)n}{2}[/tex]
[TEX]2+4+6+..+2n=\frac{(2n+2)n}{2}[/TEX]
[TEX]\Rightarrow 3675=\frac{n.6n}{2}[/TEX]
[TEX]\Rightarrow n^2=3675/3=1225 \Rightarrow n=35[/TEX]
[TEX]n=35 \Rightarrow 4n-3=140-3=137[/TEX]
Vậy bậc cao nhất của x là 137
Hok ai cảm ơn giùm mik cả ak? hu hu