Hôm nay cô giáo mình giải bài này rồi, không cần bài toán euler
Cách làm như sau
Đầu tiên: chọn 47 cái kẹo trong 100 cái chia cho 47 bạn có: [TEX]A_{100}^{47}[/TEX] cách
tiếp theo đánh số 53 cái kẹo còn lại từ 48 ---> 100
có 47 cách chọn bạn nhận kẹo thứ 48
có 47 cách chọn bạn nhận kẹo thứ 49
............................................................
có 47 cách chọn bạn nhận kẹo thứ 100
Tổng số cách là [TEX]A_{100}^{47}.{47}^{53}[/TEX]
Hình như hơi khác với đáp số của neversaynever
Mà mình thầy cách đều có lý cả!
Hôm qua có xem lại lời giải trước của tớ và của cô cậu, sau khi xem xét cẩn thận thì thấy cả 2 lời giải đều sai lý do là đã tính trùng, để giải bài này tớ sẽ dùng phương pháp hàm sinh và khai triển taylor (dùng cho h/s chuyên toán), chắc là có cách đơn giản nhưng giờ chưa nghĩ ra.
Ta sẽ giải quyết bài toán trong trường hợp tổng quát:
TQ: Có m cái kẹo khác nhau chia cho n em kute, hỏi có bao nhiêu cách chia sao cho mỗi em nhận được ít nhất một cái kẹo? (m>=n)
Hàm sinh: cho dãy số [TEX]{a_0};{a_1};..;{a_n}[/TEX] hàm số xác định bởi công thức
[TEX]A\left( x \right) = {a_0}\frac{{{x^0}}}{{0!}} + {a_0}\frac{{{x^1}}}{{1!}} + {a_2}\frac{{{x^2}}}{{2!}} + .. + {a_n}\frac{{{x^n}}}{{n!}}[/TEX] được gọi là hàm sinh dạng mũ của dãy số (an)
Gọi x1;..xn là số kẹo mà các bé kute lấy được ta có số cách là
[TEX]\sum {C_m^{{x_1}}C_{m - {x_1}}^{{x_2}}..C_{m - {x_1} - {x_2} - .. - {x_{n - 1}}}^{{x_n}}} = m!\left( {\sum {\frac{1}{{{x_1}!{x_2}!..{x_n}!}}} } \right)[/TEX]
trong đó [TEX]\left\{ {{x_1};{x_2};..;{x_n}} \right\}[/TEX] là tất cả các nghiệm nguyên dương của pt [TEX]{{x_1} + {x_2} + .. + {x_n} = m}[/TEX]
Do đó hàm sinh của bài toán là
[TEX]A\left( x \right) = {\left( {x + \frac{{{x^2}}}{{2!}} + \frac{{{x^3}}}{{3!}} + ... + } \right)^n}[/TEX]
ta cần tìm [TEX]{a_m}[/TEX]
Sử dụng khai triển taylor ta có
[TEX]\begin{array}{l}{e^x} = 1 + x + \frac{{{x^2}}}{{2!}} + \frac{{{x^3}}}{{3!}} + ... + \\ \Rightarrow A\left( x \right) = {\left( {{e^x} - 1} \right)^n} = \sum\limits_{i = 0}^n {C_n^i{{\left( {{e^x}} \right)}^{n - i}}{{\left( { - 1} \right)}^i}} = \sum\limits_{i = 0}^n {C_n^i\sum\limits_{k = 0}^\infty {\frac{{{{\left( {n - i} \right)}^k}}}{{k!}}{x^k}} {{\left( { - 1} \right)}^i}} \\= \sum\limits_{k = 0}^\infty {\sum\limits_{i = 0}^n {C_n^i} } {\left( {n - i} \right)^k}{\left( { - 1} \right)^i}\frac{{{x^k}}}{{k!}}\end{array}[/TEX]
Do đó [TEX]{a_{m,n}} = \sum\limits_{i = 0}^n {C_n^i{{\left( {n - i} \right)}^m}{{\left( { - 1} \right)}^i}}[/TEX]
thay m=100, n=47 vào công thức trên ta có đáp số là
[TEX]{a_{100,47}} = \sum\limits_{i = 0}^{47} {C_{47}^i{{\left( {47 - i} \right)}^{100}}{{\left( { - 1} \right)}^i}} [/TEX]
[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
