[toán]Giải dùm bài toán ...

[thanhtruc92]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Câu 1: CM bất đẳng thức sau : sin x + tan x > 2x , \forallx thuộc (0, pi/2)

Câu 2: Cho a \leq 6 , b \leq -8, c \leq 3. CMR với mọi x \geq 1 ta có bất đẳng thức[tex] x^4 - ax^2 - bx \geq c.[/tex]

Thanks
bạn chú ý cách đặt tiêu đề và đánh tex

 

[dotriduong]

Câu 1: CM bất đẳng thức sau : sin x + tan x > 2x , \forallx thuộc (0, pi/2)

Có thể làm như thế này !
Xét hàm số [TEX]y=-2x+sinx+tanx[/TEX]
Ta có : [TEX]y' = -2+cosx+\frac{1}{cos^2x} = \frac{cos^3x-2cos^2x+1}{cos^2x}[/TEX]
Xét dấu đạo hàm:
Dấu đạo hàm phụ thuộc vào dấu của tử thức
Ta có :
[TEX]Cos^3x-2cos^2x+1 = (Cosx-1)(cos^2x-cosx-1) [/TEX]
Nhận thấy: Với [TEX]x \in (0;\frac{\pi}{2})[/TEX]
thì [TEX]cosx-1 < 0[/TEX] và [TEX]Cos^2x-cosx-1<0[/TEX]
\Rightarrow [TEX]y' >0[/TEX]
\Rightarrow Hàm luôn đồng biền trên miền đc xét
Mặt khác dễ thấy nếu xét số[TEX] x_0[/TEX] lân cận 0 tức là [TEX]x_0 --> 0^+[/TEX]
thì hàm luôn dương
\Rightarrow y>o --> DPCM

 

[dotriduong]

Câu 2: Cho a \leq 6 , b \leq -8, c \leq 3. CMR với mọi x \geq 1 ta có bất đẳng thức x^4 - ax^2 - bx \geq c.

Mình nghĩ bài 2 làm thế này !
Đề cho là [TEX]a\leq6 [/TEX]; [TEX]b\leq-8 [/TEX]; [TEX]c\leq3 [/TEX]; [TEX]x\geq1[/TEX]
Đặt [TEX]y=x^4-ax^2-bx-c [/TEX] (1)
[TEX]\Rightarrow [/TEX][TEX]y'=4x^3-2ax -b[/TEX] (2)
[TEX]\Rightarrow [/TEX][TEX]y"=12x^2-2a [/TEX](3)
Dùng đạo hàm cấp 2 để xét dấu cấp 1:
Ta thấy : với [TEX]a\leq6 [/TEX]và [TEX]x\geq1 [/TEX]\Rightarrow [TEX]y"\geq0[/TEX]
[TEX]\Rightarrow [/TEX][TEX]y' [/TEX]đồng biến và [TEX]y'_{CT} [/TEX]khi [TEX]x=1[/TEX] và [TEX]a=6[/TEX], \Rightarrow [TEX]y'_{CT} = 0[/TEX]
Ta lại thấy : [TEX]y'_{CT}[/TEX] khi [TEX]x=1[/TEX] và [TEX]a=6[/TEX]\Rightarrow [TEX]y'=-8-b [/TEX]mà [TEX]b\leq-8\Rightarrow y'\geq0 [/TEX]
[TEX]\Rightarrow [/TEX]y đồng biến và [TEX]y_{CT}[/TEX] khi [TEX]x=1[/TEX] ; [TEX]a=6[/TEX] ; [TEX]b=8 \Rightarrow y_{CT}=0[/TEX]
Cuối cùng : Với [TEX]x=1 ; a=6 ; b=-8[/TEX] thì [TEX] y= 3-c [/TEX]mà[TEX] c\leq3 \Rightarrow y\geq0 [/TEX]
\Rightarrow DPCM
Dấu bằng xảy ra khi x=1 ; z=6 ; b=-8 ; c=3