Ta chứng minh vấn đề sau: $10^n \equiv 4 \pmod{6}$ với $ n \in \mathbb{N}^*$.
Thật vậy, $$10^n-4= \underbrace{99...9}_{n-1}6$$ luôn chia hết cho $6$ (vì cùng chia hết cho $2$ và $3$)
Do đó $$A=10^{10}+10^{10^2}+10^{10^3}+ \cdots + 10^{10^{10}}=10^{6k+4}+10^{6k_1+4}+10^{6k_2+4}+ \cdots + 10^{6k_{10}+4}$$
Áp dụng định lý Fermat nhỏ thì $10^6 \equiv 1 \pmod{7}$.
Do đó ta suy ra $$A \equiv \underbrace{10^4+10^4+ \cdots + 10^4}_{10} \equiv 10^5 \equiv \boxed{5} \pmod{7}$$
[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn