toán đội tuyển

[zeoprono1]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

1. Chứng minh rằng nếu m=a+b+c thì (am+bc)(bm+ac)(cm+ab) là số chính phương
2. Chứng minh rằng nếu a,b,c là 3 số thoả mãn: [TEX]\frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c} = \frac{1}{a+b+c}[/TEX] thì 2 trong 3 số đó phải là số đối nhau
3. Cho x,y,z là các số thực thoả mãn điều kiện x+y+z=3 và [TEX]\frac{1}{x} + \frac{1}{y} + \frac{1}{z} = \frac{1}{3}[/TEX]. Chứng minh rằng ít nhất 1 trong 3 số x,y,z bằng 3
4. Cho 3 số nguyên x,y,z có trổng chia hết cho 6. Chứng minh rằng (x+y)(y+z)(x+z) - 2xyz chia hết cho 6
5. Chứng minh rằng nếu [TEX](x-y)^2 + (y-z)^2 + (z-x)^2 = (x+y-2z)^2 + (y+z-2x)^2 + (z+x-2y)^2 [/TEX] thì x=y=z
6. Chứng minh rằng nếu x=by+cz ; y=cz+ax ; z=ax+by và x+y+z khác 0 thì [TEX]\frac{1}{1+a} + \frac{1}{1+b} + \frac{1}{1+c} = 2[/TEX]

 

[harrypham]

Câu 6: đây.

 

[harrypham]

1. Ta có [TEX]am+bc=a(a+b+c)+bc=(a+b)(a+c)[/TEX]
[TEX]bm+ac=b(a+b+c)+ac=(b+a)(b+c)[/TEX]
[TEX]cm+ab=c(a+b+c)+ab=(c+a)(c+b)[/TEX]
[TEX]\Rightarrow (am+bc)(cm+ab)(bm+ca)=[(a+b)(b+c)(c+a)]^2[/TEX] là một số chính phương.

 

[harrypham]

2. [TEX]\frac 1a + \frac 1b + \frac 1c= \frac{1}{a+b+c}[/TEX]
[TEX]\Leftrightarrow \frac{ab+bc+ca}{abc}= \frac{1}{a+b+c}[/TEX]
[TEX]\Leftrightarrow (ab+bc+ca)(a+b+c)-abc=0[/TEX]
[TEX]\Leftrightarrow ab(a+b)+bc(b+c)+ca(c+a)+2abc=0[/TEX]
[TEX]\Leftrightarrow ab(a+b)+(a+b)bc+(a+b)ca+c^2(a+b)=0[/TEX]
[TEX]\Leftrightarrow (a+b)(ab+bc+ca+c^2)=0[/TEX]
[TEX]\Leftrightarrow (a+b)(b+c)(c+a)=0[/TEX].
Ta có đpcm.

 

[lanhnevergivesup]

Chứng minh rằng nếu x=by+cz ; y=cz+ax ; z=ax+by và x+y+z khác 0 thì

Từ y=ax+cz ==> [TEX]a=\frac{y-cz}{x}[/TEX]
,[TEX]\Rightarrow \frac{1}{1+a} =\frac{1}{1+\frac{y-cz}{x}} = \frac{x}{x+y-cz} =\frac{by+cz}{ax+by+cz}(1)[/TEX]
Vì vai trò của 3 số a,b,c như nhau nên ta có thể hoán vị vòng quanh
,[TEX]\Rightarrow \frac{1}{1+b}=\frac{ax+cz}{ax+by+cz}(2) ; \frac{1}{1+c} = \frac{ax+by}{ax+by+cz}(3}[/TEX]
Cộng (1),(2),(3) ta được GT bằng 2

 

[harrypham]

3. Ta có [TEX]\frac 1x + \frac 1y+ \frac 1z= \frac 13= \frac{1}{x+y+z} \qquad (1)[/TEX] (vì [TEX]x+y+z=3[/TEX]).
Do đó theo bài 2 thì hai trong ba số [TEX]x,y,z[/TEX] phải đối nhau, tức là tổng hai số đó bằng 0. Khi đó số còn lại sẽ bằng 3.
Ta có đpcm.

4. [TEX](x+y)(y+z)(z+x)-2xyz=(x+y+z)(xy+yz+zx)-3xyz[/TEX].
Nhận thấy vì [TEX]x+y+z \ \vdots 6[/TEX] nên chỉ cần chứng minh [TEX]3xyz \ \vdots 6[/TEX] hay [TEX]xyz \ \vdots 2[/TEX], hiển nhiên đúng vì trong ba số [TEX]x,y,z[/TEX] có tổng chia hết cho 2 thì ắt hẳn phải có một số chẵn.

 

[eye_smile]

5.Ta có: ${\left( {x - y} \right)^2} + {\left( {y - z} \right)^2} + {\left( {z - x} \right)^2} = {\left( {x + y - 2z} \right)^2} + {\left( {y + z - 2x} \right)^2} + {\left( {x + z - 2y} \right)^2}$
$ \leftrightarrow 2\left( {{x^2} + {y^2} + {z^2} - xy - yz - xz} \right) = 6\left( {{x^2} + {y^2} + {z^2} - xy - yz - xz} \right)$
$ \leftrightarrow {x^2} + {y^2} + {z^2} - xy - yz - xz = 0$
$ \leftrightarrow {\left( {x - y} \right)^2} + {\left( {y - z} \right)^2} + {\left( {z - x} \right)^2} = 0$
$ \leftrightarrow x = y = z$