Toán đội tuyển: toán chia hết

[holaheholaho99@gmail.com]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Cho g(x) và h(x) là hai đa thức với hệ số nguyên thoả mãn điều kiện [TEX]g(x^3) + xh(x^3)[/TEX] chia hết cho [TEX]x^2 + x +1 [/TEX]. Chứng minh g(x) và h(x) cùng chia hết cho x-1

 

[congchuaanhsang]

Bài toán phụ: Với mọi a,b là các số thực

và $f(x)$ là 1 đa thức với hệ số nguyên thì $f(a)-f(b)$ chia hết cho $a-b$

Áp dụng: $g(x^3)-g(1)$ chia hết cho $x^2+x+1$

$xh(x^3)-xh(1)$ chia hết cho $x^2+x+1$

\Rightarrow $[g(x^3)+xh(x^3)]-[g(1)+xh(1)]$ chia hết cho $x^2+x+1$

\Rightarrow $g(1)+xh(1)$ chia hết cho $x^2+x+1$

\Rightarrow $g(1)$ và $h(1)$ là đa thức 0 (vì là đa thức bậc nhất)

Theo định lí Bơ-du, $g(x)$ và $h(x)$ chia hết cho $x-1$