toán đội tuyển khó đáng để nghĩ

[sakura024]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

1. tìm tất cả các tg vuông có số đo các cạnh là số ng dương. số đo S= số đo P
2.với các giá trị nào của a thì đa thức (x-a)(x-10) +1 phân tích thành 1 đa thức bậc nhất các hệ số nguyên
3. tím số ng a và b để A(x)=x^4-3.x^3+ã+b chia hết cho đa thức B(x)=x^2-3x+4
4.cm 2x^2-4y=10 không có nghiệm nguyên
5. cho tg ABC, AB=3AC. tính tỉ số đường cao xuất phát từ B và C
6.cm nếu 3 stn m, m+k, m+2k đều là các số nguyên tố lớn hơn 3 thì k chia hết cho 6
7.cho a=11...1(2nc/s 1), b=44...4(n c/s 4)
cm a+b+1 là số cp
8.tìm nghiệm nguyên
a. xy-4x=35-5y
b. x^2+x+6=y^2

 

[letsmile519]

8a:

$x(y-4)=-5(y-4)+15$

$(x+5)(y-4)=15$

đến đây phân tích qá dễ r` nhé~~

b)

Nhân 4 vào 2 vế phân tích thành hiệu 2 SCP rồi cũng tách thành tích như câu a

 

[vipboycodon]

8a. $xy-4x = 35-5y$
<=> $xy-4x+5y-20 = 15$
<=> $x(y-4)+5(y-4) = 15$
<=> $(y-4)(x+5) = 15$
Tới đây dễ rồi.

 

[letsmile519]

7)

đặt 111...11(n cs 1)=x=>10^n=9a+1

=>a+b+1=(9x+1).x+x+4x+1

=>a+b+1=(3x+1)^2=>đpcm

 

[nhuquynhdat]

5) Kẻ $BH \perp AC; CK \perp AB$

Xét $\Delta ABH$ và $\Delta ACK$ có:

$\widehat{BAH}=\widehat{CAK}$ ( đối đỉnh)

$BH \perp AC \to \widehat{AHB}=90^o$

$CK \perp AB \to \widehat{AKC}=90^o$

$\to \widehat{AHB}=\widehat{AKC}$

$\to \Delta ABH \sim \Delta ACK$

$\to \dfrac{BH}{CK}=\dfrac{AB}{AC}$

Mà $AB=3AC \to \dfrac{AB}{AC}=3$

$\to \dfrac{BH}{CK}=3$

 

[nhuquynhdat]

7)$a+b+1=11...1+44...4+1=11...1.10^n+11...1$ (11...1 có n chữ số 1)

$=11...1.10^n+11....1+4.11...1+1$

Đặt $x=11...1 \to 10^n=9x+1$

$\to a+b+1=x.10^n+x+4x+1=x(9x+1)+5x+1=9x^2+6x+1$

$=(3x+1)^2=(33...3+1)^2 $( n chữ số 3)

$=33...34^2 $ (n-1 chữ số 3) là số chính phương

 

[nhuquynhdat]

3) $A(x) : B(x)=x^2-4 $ dư $(a+12)x+b-16$

Để A(x) chia hết cho B(x) thì $(a+12)x+b-16=0$

đồng nhất hệ thức, ta có:

$\leftrightarrow \left\{\begin{matrix} a+12=0\\b-16=0 \end{matrix}\right.$

$ \leftrightarrow\left\{\begin{matrix} a=-12\\b=16 \end{matrix}\right.$

 

[thaolovely1412]

Bài 8
b)[TEX]x^2+x+6=y^2[/TEX]
\Leftrightarrow [TEX]4x^{2}+4x+24=4y^{2}[/TEX]
\Leftrightarrow [TEX]\left ( 2x+1-2y \right )\left ( 2x+1+2y \right )=-23[/TEX]
\Leftrightarrow [TEX]\left{\begin{2x+1-2y=-1}\\{2x+1+2y=23} [/TEX] (1)
[TEX]\left{\begin{2x+1-2y=-23}\\{2x+1+2y=1} [/TEX] (2)
[TEX]\left{\begin{2x+1-2y=23}\\{2x+1+2y=-1} [/TEX] (3)
[TEX]\left{\begin{2x+1-2y=1}\\{2x+1+2y=-23} [/TEX] (4)
(1) \Leftrightarrow [TEX]\left{\begin{x=5}\\{y=6} [/TEX]
(2)\Leftrightarrow [TEX]\left{\begin{x=-6}\\{y=6} [/TEX]
(3) \Leftrightarrow [TEX]\left{\begin{x=6}\\{y=5} [/TEX]
(4) \Leftrightarrow [TEX]\left{\begin{x=6}\\{y=-6} [/TEX]

 

[thaolovely1412]

Bài 6
Ta có: m là số nguyên tố > 3
\Rightarrow m lẻ và [TEX]m \not\vdots\3[/TEX]
mà m+k là số nguyên tố > 3 \Rightarrow m+ k lẻ
\Rightarrow k chẵn
Đặt [TEX]k = 3q+p[/TEX] (với p = 0, 1, 2)
\Rightarrow [TEX]m+k = 3q+m+p[/TEX] ; [TEX]m+2k = 6q+m+2p [/TEX]
+) m chia 3 dư 1
\Rightarrow [TEX]m+p \vdots 3[/TEX] \Leftrightarrow p = 2 hoặc [TEX]m+2p \vdots 3[/TEX]\Leftrightarrow p = 1
mà [TEX]m+p \not\vdots\ 3[/TEX] và[TEX] m+2p \not\vdots 3[/TEX]
\Rightarrow p=0
+) m chia 3 dư 2
\Rightarrow [TEX]m+p \vdots 3 [/TEX]\Leftrightarrow p = 1 hoặc [TEX]m+2p \vdots 3[/TEX]\Leftrightarrow p = 2
mà [TEX]m+p \not\vdots\ 3[/TEX] và[TEX] m+2p \not\vdots 3[/TEX]
\Rightarrow p=0
Vậy p=0 \Rightarrow k=3q hay [TEX]k \vdots 3[/TEX] mà k chẵn \Rightarrow [TEX]k \vdots 6[/TEX]

 

[thaolovely1412]

Bài 2
Giả sử [TEX](x-a)(x-10)+1[/TEX] phân tích thành tích đa thức bậc bậc nhất có hệ số nguyên
\Rightarrow [TEX](x-a)(x-10)+1 = (x-b)(x-c) [/TEX]
\Leftrightarrow [TEX]x^2-(10+a)x+10a+1 = x^2-(b+c)x+bc [/TEX]
\Rightarrow [TEX]\left{\begin{10+a = b+c}\\{10a+1 = bc} [/TEX] (đồng nhất hệ số)
[TEX]bc=10a+1=10a+100 -99 = 10(a+10)-99 = 10(b+c)-99 [/TEX]
\Leftrightarrow [TEX]bc=10(b+c)-99 [/TEX]
\Leftrightarrow [TEX]bc-10b-10c+100=1 [/TEX]
\Leftrightarrow [TEX](b-10)(c-10)=1 [/TEX]
\Rightarrow [TEX]b-10=c-10=\pm \1 [/TEX]
+) [TEX]b-10=c-10=1 [/TEX]\Leftrightarrow[TEX] b=c=11[/TEX] \Leftrightarrow [TEX]a=b+c-10=12 [/TEX]
+) [TEX]b-10=c-10=-1[/TEX] \Leftrightarrow [TEX]b=c=9[/TEX] \Leftrightarrow [TEX]a=b+c-10=8 [/TEX]

 

[0973573959thuy]

1. tìm tất cả các tg vuông có số đo các cạnh là số ng dương. số đo S= số đo P

Gọi độ dài 3 cạnh của tam giác vuông thỏa mãn đề bài là x;y;z (z là độ dài cạnh huyền; x, y, z $\in Z^+$ )

Theo đề ra có : $x + y + z = \dfrac{1}{2}.x.y$

$\rightarrow 2(x + y + z) = xy$ (1)

Mặt khác có : $x^2 + y^2 = z^2$ (theo định lý Pi - ta - go)

$\leftrightarrow z^2 = (x + y)^2 - 2xy = (x + y)^2 - 4(x + y + z)$

$\leftrightarrow z^2 + 4z = (x + y)^2 - 4(x + y)$

$\leftrightarrow z^2 + 4z + 4 = (x + y)^2 - 4(x + y) + 4$

$\leftrightarrow (z + 2)^2 = (x + y - 2)^2 \leftrightarrow x + y - 2 = z + 2$

$\leftrightarrow z = x + y - 4$ %%-

Thế %%- vào (1) ta có : 2(x + y + x + y - 4) = xy

$\leftrightarrow xy - 4x - 4y = - 8 \leftrightarrow x(y - 4) - 4( y - 4) = 8 \leftrightarrow ( x - 4)(y - 4) = 8 = 1.8 = 2.4$

Giải pt ước số tìm được nghiệm :

(x;y;z) = (5;12;13) ; (12;5;13) ; (6;8;10) ; (8;6;10)

4.cm 2x^2-4y=10 không có nghiệm nguyên

Đề sai. Phương trình có nghiệm (x;y) = (3; 2)

Đề đúng phải là : $2x^2 - 4y^2 = 10 \leftrightarrow x^2 - 2y^2 = 5$

Đề giờ chuyển thành : Chứng minh phương trình $x^2 - 2y^2 = 5$ không có nghiệm nguyên
Sử dụng tính chia hết. Gắng tìm lại bằng chức năng tìm kiếm của diễn đàn nhé, bài này tớ làm một lần cho 1 mem nào đó ở diễn đàn rồi!

.cm nếu 3 stn m, m+k, m+2k đều là các số nguyên tố lớn hơn 3 thì k chia hết cho 6]

m;m + k; m + 2k là số nguyên tố lớn hơn 3 nên đều không chia hết cho 3 và là số lẻ (*)

$\rightarrow (m + k) - m = k$ là số chẵn suy ra k chia hết cho 2 (1)

Bây giờ cần chứng minh k chia hết cho 3 nữa là xong, ta sẽ chứng minh k chia hết cho 3 theo pp phản chứng.

Giả sử k không chia hết cho 3 $\rightarrow k = 3m + 1; k = 3m + 2 (m \in Z)$

Lại có m cũng không chia hết cho 3 nên $m = 3n + 1; m = 3n + 2 (n \in Z)$

Xét 2 trường hợp :

○ Nếu $m = 3n + 1$ thì :
Với $k = 3m + 1$ có m + 2k = 3n + 1 + 6m + 2 = 3(n + 2m + 1) $\vdots 3$ (trái với (*) ) : loại

Với $k = 3m + 2$ có m + k = 3m + 2 + 3n + 1 = 3( m + n + 1) $\vdots 3$ ( trái (*) ) : loại

○ Nếu $m = 3n + 2$ thì :

Với $k = 3m + 1$ có m + k = 3(m + n + 1) $\vdots 3$ (trái (*) ) : loại

Với $k = 3m + 2$ có m + 2k = 3n + 2 + 6m + 4 = 3(n + 2m + 2) $\vdots 3$ (trái (*) ) : loại

Vậy trong mọi trường hợp luôn có k chia hết cho 3 (2)

Từ (1); (2) suy ra k chia hết 2;3 mà 2;3 nguyên tố cùng nhau nên k chia hết 6