Toán đội tuyển khó: Căn bậc 2

[embecuao]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

1. Giải phương trình

a, [TEX]\sqrt{x+712671620 -52408\sqrt{x+26022004}} + \sqrt{x+712619213 - 56406\sqrt{x+26022004}}[/TEX]

b, [TEX]\sqrt{2009 + 2010\sqrt{x^2 + x+1}} = 20\sqrt{2009-2010\sqrt{x^2+x+1}}[/TEX]

2. Giải các phương trình nghiệm nguyên sau:

[TEX]\sqrt{x + \sqrt{x+ \sqrt{x + \sqrt{x}}}} = y[/TEX]

[TEX]\sqrt{x+ \sqrt{x + ... + \sqrt{x}}} = y[/TEX] (vế trái có 100 dấu căn)

[TEX]\sqrt{x+ \sqrt{x+ 4\sqrt{x+4\sqrt{x + ... + 4\sqrt{x+4\sqrt{5x}}}}}} = x[/TEX] (vế trái có 100 dấu căn)

 

[braga]

Bài 1a: xem lại đế
$\fbox{1b}.$ Đặt $2010\sqrt{x^2+x+1}=a>0$, pt có dạng:
$\sqrt{2009+a}=20\sqrt{2009-a}$
Dễ dàng tìm được a ở pt này.

 

[braga]

$\fbox{2}.$ Giải bài toán tổng quát: $\sqrt{x+\sqrt{x+...+\sqrt{x}}}=y$ , với n dấu căn x, y nguyên

ĐKXĐ: $x\geq 0$; $y\geq 0$

Bình phương hai vế rồi chuyển vế ta được:

$\sqrt{x+\sqrt{x+...+\sqrt{x}}}=y^2-x=a$ (với $a$ là số tự nhiên) ($VT$
có $n-1$ dấu căn)

Tiếp tục bình phương hai vế rồi chuyển vế ta được:

$\sqrt{x+\sqrt{x+...+\sqrt{x}}}=a^2-x=b$ (với $b$ là số tự nhiên) ($VT$ có $n-2$ dấu căn)

Thực hiện các bước trên đến khi $PT$ có dạng: $x+\sqrt{x}=k^2$

Vì $VP$ là số tự nhiên nên $\sqrt{x}$ phải là số chính phương

$PT\Leftrightarrow \sqrt{x}\left ( \sqrt{x}+1 \right )=k^2$

Ta có $\sqrt{x}$ và $\sqrt{x}+1$ là hai số tự nhiên liên tiếp có tích là một số chính phương nên số nhỏ bằng 0 tức là $\sqrt{x}=0$ suy ra $x=0$, từ đó dẫn đến $y=0$