Toán 9 Toán đố

[Love You At First Sight]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

cho 2019 số hữu tỉ được viết trên một đường tròn. Cmr tồn tại hai số được viết cạnh nhau trên đường tròn đó sao cho khi bỏ đi hai số đó thì 2017 số còn lại không thể chia thành 2 nhóm mà tổng các số ở mỗi nhóm bằng nhau

 

[7 1 2 5]

Quy đồng 2019 số trên thành 2019 số nguyên. Giả sử d là ước chung của 2019 số hữu tỉ. Chia 2019 số đó cho d ta được 2019 số nguyên nguyên tố cùng nhau:[tex]a_1,a_2,...,a_{2019}[/tex]. Trong 2019 số đó luôn tồn tại 1 số lẻ.
Ta cần chứng minh chọn được 2 số kề nhau sao cho tổng 2017 số còn lại là số lẻ. Khi đó 2017 số còn lại không thể chia thành 2 nhóm bằng nhau được. Xét trường hợp:
+ 2019 số đó có 2n số lẻ.
Khi đó luôn tồn tại ít nhất 1 số chẵn. Vì 2019 số này có 2n số lẻ nên tổng 2019 số trên đều chẵn. Ta cần chọn 2 số kề nhau sao cho có 1 số chẵn, 1 số lẻ.
Giả sử ta không tìm được 2 số thỏa mãn. Vì tồn tại 1 số chẵn nên 2 số kề nó cũng là số chẵn. Cứ tiếp tục như vậy thì 2019 số đều là số chẵn(vô lí)
+ 2019 số đó có 2n + 1 số lẻ.
Ta cần chọn 2 số kề nhau sao cho 2 số đó cùng chẵn hoặc lẻ. Giả sử ta không chọn được. Thế thì các số chẵn và lẻ xếp so le nhau. Như vậy thì số số chẵn và lẻ bằng nhau, vô lí.
Vậy ta có đpcm.