[Toán]Đề thi học sinh giỏi Quốc gia năm 2009

H

hocmai.toanhoc

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI QUỐC GIA THPT NĂM HỌC 2008-2009.

Bài 1. (4điểm)
Giải hệ phương trình:
[TEX]\left\{ \begin{array}{l}\frac{1}{{\sqrt {1 + 2x^2 } }} + \frac{1}{{\sqrt {1 + 2y^2 } }} = \frac{2}{{\sqrt {1 + 2xy} }} \\\sqrt {x(1 - 2x)} + \sqrt {y(1 - 2y)} = \frac{2}{9} \\\end{array} \right.[/TEX]

Bài 2. (5điểm)
Cho dãy số (x_n) xác định như sau:
[TEX]\left\{ \begin{array}{l}x_1 = \frac{1}{2} \\x_n = \frac{{\sqrt {x_{n - 1} ^2 + 4x_{n - 1} } + x_{n - 1} }}{2} \\\end{array} \right.[/TEX]

Xét dãy số [TEX]{y}_{n}=\sum_{1}^{n}\frac{1}{{{x}_{i}}^{2}}[/TEX]. Chứng minh dãy [TEX](y_n)[/TEX] có giới hạn hữu hạn và tìm giới hạn đó.


Bài 3. (5 điểm)
Cho 2 điểm cố định [TEX]A, B[/TEX] và điểm [TEX]C[/TEX] di động trên mặt phẳng sao cho [TEX]\hat{ACB}=a \ (0<a<180)[/TEX] không đổi cho trước. Hình chiếu của tâm đường tròn nội tiếp [TEX]I[/TEX] của tam giác [TEX]ABC[/TEX] xuống ba cạnh [TEX]AB,\ BC,\ CA[/TEX] lần lượt là [TEX]D,\ E,\ F[/TEX]. [TEX]AI[/TEX] và [TEX]BI[/TEX] cắt [TEX]EF[/TEX] lần lượt tại [TEX]M,N[/TEX].
a) Chứng minh độ dài [TEX]MN[/TEX] không đổi.
b) CM đường tròn [TEX](DMN)[/TEX] luôn đi qua một điểm cố định.


Bài 4. (3điểm)
Cho [TEX]a,\ b,\ c[/TEX] là các số thực. Với mỗi [TEX]n[/TEX] nguyên dương, [TEX]a^n+b^n+c^n[/TEX]
là số nguyên. Chứng minh rằng tồn tại 3 số nguyên [TEX]p,q,r[/TEX] sao cho [TEX]a,b,c[/TEX] là các nghiệm của pt bậc ba [TEX]x^3+px^2+qx+r=0[/TEX].


Bài 5. (3 điểm)
Cho tập hợp [TEX]S[/TEX] gồm [TEX]2n[/TEX] số nguyên dương đầu tiên. Tìm số tập hợp [TEX]T[/TEX] sao cho trong [TEX]T[/TEX] không có 2 phần tử [TEX]a,b[/TEX] nào thỏa mãn [TEX]|a-b| \in \left\{ {1;n} \right\}[/TEX]
(chú ý tập rỗng thỏa mãn ĐK trên)

==HẾT==
 
Top Bottom