Toán đề hkII 8

[nhokngok2]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Bài 1 : Cho a+b=1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức [TEX]A=a(a^2+2b)+b(b^2-a)[/TEX].

Bài 2: Cho a>0; b>0 và a+b=2. Tìm giá trị nhỏ nhất của [TEX]P=\frac{1}{a}+\frac{1}{b}[/TEX].

Bài 3: Cho x,y,z là các số dương có tích bằng 1. Chứng minh rằng [TEX](x+y)(y+z)(z+x)[/TEX]\geq 8.

Bài 4: Cho các số dương x,y thỏa mãn x+y=1. Tìm giá trị nhỏ nhất của [TEX]P=(2x+\frac{1}{x})^2 + (2y+\frac{1}{y})^2[/TEX].

Bài 5: Chứng minh nếu [TEX]a^4+b^4+c^4+d^4 = 4abcd[/TEX] với a,b,c,d là các số dương thì a = b= c= d.

Bài 6: Cho a,b,c,d là các số dương có tích bằng 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức [TEX]A = (a+b)(b+c)(c+d)(d+a)[/TEX].

Bài 7: Tìm x để biểu thức không âm [TEX]Q = \frac{2x^2-x}{x^2+3}[/TEX].

Ai giúp những bài này với

 

[thaolovely1412]

Bài 5
[TEX]a^4+b^4+c^4+d^4=4abcd[/TEX]
\Leftrightarrow [TEX]a^4+b^4+c^4+d^4- 4abcd=0[/TEX]
\Leftrightarrow [TEX]a^4+b^4+c^4+d^4- 4abcd+2a^2b^2+2c^2d^2-2a^2b^2-2c^2d^2=0[/TEX]
\Leftrightarrow [TEX](a^2-b^2)^2+(c^2-d^2)^2-2(a^2b^2-2abcd+c^2d^2)=0[/TEX]
\Leftrightarrow [TEX](a^2-b^2)^2+(c^2-d^2)^2-2(ab-cd)^2=0[/TEX]
ta có: [TEX](a^2-b^2)^2 \geq 0[/TEX]; [TEX](c^2-d^2)^2 \geq 0[/TEX]; [TEX]2(ab-cd)^2\geq 0 \forall a;b;c;d[/TEX]
\Rightarrow [TEX](a^2-b^2)^2=(c^2-d^2)^2=2(ab-cd)^2=0[/TEX]
\Rightarrow [TEX]a^2=b^2[/TEX]; [TEX]c^2=d^2[/TEX];[TEX]ab=cd[/TEX]
\Rightarrow [TEX]a=b=c=d[/TEX]

 

[eye_smile]

1,Ta có:$A=a({a^2}+2b)+b({b^2}-a)={a^3}+2ab+{b^3}-ab$
$={a^3}+{b^3}+ab=(a+b)({a^2}-ab+{b^2})+ab={a^2}+{b^2}-ab+ab={a^2}+{b^2}$ \geq $\dfrac{{(a+b)^2}}{2}=\dfrac{1}{2}$
Dấu"=" xảy ra \Leftrightarrow $a=b=\dfrac{1}{2}$

 

[thaolovely1412]

Bài 2
Ta có: [TEX]P= \frac{1}{a}+\frac{1}{b}=\frac{a+b}{ab}=\frac{2}{ab}[/TEX]
Để P đạt GTNN thì ab phải đạt GTLN
mà tổng a+b=2 đạt giá trị không đổi nên tích ab lớn nhất khi a=b
\Rightarrow a=b=1
Vậy Min P=2

 

[eye_smile]

2, Ta có:
$P=\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}$ \geq $\dfrac{4}{a+b}=2$
Dấu "=" xảy ra \Leftrightarrow $a=b=1$

3,Ta có: $x+y$ \geq $2\sqrt{xy}$
$y+z$ \geq $2\sqrt{yz}$
$x+z$ \geq $2\sqrt{zx}$
Nhân theo vế \Rightarrow đpcm
Dấu"=" xảy ra \Leftrightarrow x=y=z=1

 

[eye_smile]

4,Ta có:
$P={(2x+\dfrac{1}{y})^2}+{(2y+\dfrac{1}{x})^2}$ \geq $\dfrac{1}{2}.{(2x+2y+\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y})^2}=\dfrac{1}{2}.{(2+\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y})^2}$ \geq $\dfrac{1}{2}.{(2+\dfrac{4}{x+y})^2}=18$
Dấu"=" xảy ra \Leftrightarrow $x=y=\dfrac{1}{2}$

 

[eye_smile]

5,Ta có:
${a^4}+{b^4}+{c^4}+{d^4}$ \geq $4\sqrt[4]{{a^4}{b^4}{c^4}{d^4}}=4abcd$
Dấu"=" xảy ra \Leftrightarrow a=b=c=d

6,Ta có:\
$A=(a+b)(b+c)(c+d)(d+a)$ \geq $2\sqrt{ab}.2\sqrt{bc}.2\sqrt{cd}.2\sqrt{da}=16.abcd=16$

Dấu"=" xảy ra \Leftrightarrow $a=b=c=d=1$

 

[thaolovely1412]

Bài 6
Ta có:
[TEX]a+b \geq 2sqrt{ab}[/TEX]
[TEX]b+c \geq 2sqrt{bc}[/TEX]
[TEX]c+d \geq 2sqrt{cd}[/TEX]
[TEX]d+a \geq 2sqrt{da}[/TEX]
Nhân vế với vế ta được:
[TEX](a+b)(b+c)(c+d)(d+a) \geq 2sqrt{ab}.2sqrt{bc}.2sqrt{cd}.2sqrt{da}[/TEX]
\Leftrightarrow [TEX]A \geq 16.\sqrt{a^2b^2c^2d^2}[/TEX]
\Leftrightarrow [TEX]A \geq 16.abcd=16[/TEX]
Vậy Min A=16

 

[eye_smile]

7, BT không âm \Leftrightarrow $2{x^2}-x$ \geq 0 (do mẫu luôn >0)
\Leftrightarrow $x(2x-1)$ \geq 0
\Leftrightarrow x \geq $\dfrac{1}{2}$ hoặc x \leq 0

 

[demon311]

Bài 3 dễ thế sao 2 mod không chém:
$xyz=1$
$x+y=xy(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y})\\
y+z=yz(\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{z})\\
x+z=xz(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{z})$
$(x+y)(y+z)(x+z)=x^2y^2z^2(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y})(\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{z})(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{z}) \ge \dfrac{2}{\sqrt{xy}}\dfrac{2}{\sqrt{yz}}\dfrac{2}{\sqrt{xz}}=8$ (dpcm)

 

[demon311]

Bài 5: Áp dụng bdt Cauchy cho 2 số không âm: $a^4,b^4$
$a^4+b^4 \ge 2a^2b^2$
Tương tự:
$c^4+d^2 \ge 2c^2d^2$
Tiếp tục:
$2a^2b^2+2c^2d^2 \ge 4abcd$
Vậy: ....