toán đại

[vipboycodon]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Tìm GTNN và GTLN của ab biết a và b là nghiệm của phương trình:
$a^4+b^4-3=ab(1-2ab)$

Chú ý tên tiêu đề.
@ bài của bạn trong sbox toán 9 bị xóa > 5 bài, đề nghị bạn để ý.

 

[angleofdarkness]

Đặt ab = S và $b^4=x$.
Từ pt cho \Rightarrow a và b không thể cùng bằng 0.
Xét a hoặc b = 0 thì S = 0. (1)
Xét a, b khác 0 thì từ pt cho Ta suy ra pt: $(\dfrac{S}{b})^4+b^4-3-S(1-2S)=0.$
\Leftrightarrow$S^4+b^8-(3+S-2S^2).b^4=0.$
\Rightarrow $S^4+x^2-(3+S-2S^2).x=0.$ (*)
Coi pt trên là pt bậc hai ẩn x có dạng $x^2+bx+c=0$ với $b=-(3+S-2S^2); c=S^4.$

Do \exists a, b thỏa mãn đề nên \exists x thỏa mãn (*).

Tức pt (*) có [TEX]\Delta[/TEX] = $b^2-4c=(3+S-2S^2)^2-4S^4$ \geq 0.
\Leftrightarrow $9+S^2+4S^4+6S-4S^3-12S^2-4S^4$ \geq 0.
\Leftrightarrow $4S^3+11S^2-6S-9$ \leq 0.
\Leftrightarrow $(S+3)(4S^2-S-3)$ \leq 0.
\Leftrightarrow $(S+3)(S-1)(4S+3)$ \leq 0.

-Xét trong ba số $(S+3);(S-1);(4S+3)$ có 1 số âm.
\Leftrightarrow -$\dfrac{3}{4}$ \leq $S$ \leq 1. (2)

-Xét cả ba số ba số $(S+3);(S-1);(4S+3)$ đều âm.
\Rightarrow $S$ \leq -3. (3)

Từ (1), (2), (3) \Rightarrow min S = ab = -$\dfrac{3}{4}$ và max S = ab = 1.

 

[vipboycodon]

bạn ơi hình như sai rồi ,mà bạn thử làm kiểu khác đi

 

[angleofdarkness]

Mình nghĩ cách đặt ẩn phụ này đúng rồi, còn cách khác mình chưa nghĩ đến.
Bạn thử đánh giá $a^4 + b^4$ với ab xem có ra BPT đúng không?

 

[angleofdarkness]

Có $a^4+b^4$ \geq $2a^2b^2$ \Rightarrow $ab(1-2ab)+3$ \geq $2a^2b^2.$

\Leftrightarrow$4a^2b^2 - ab-3$ \leq 0.

Ra $\dfrac{-3}{4}$ \leq ab \leq 1.

 

[vipboycodon]

Có $a^4+b^4$ \geq $2a^2b^2$ \Rightarrow $ab(1-2ab)+3$ \geq $2a^2b^2.$

\Leftrightarrow$4a^2b^2 - ab-3$ \leq 0.

Ra $\dfrac{-3}{4}$ \leq ab \leq 1.

\Rightarrow đây là cách làm của mình:
[TEX]a^4+b^4-3 = ab(1-2ab)[/TEX]
\Leftrightarrow [TEX]a^4+b^4-2a^2b^2=ab+3[/TEX]
\Leftrightarrow [TEX](a^2+b^2)^2 =ab+3*(1)[/TEX]
ta có: [TEX](a^2-b^2)^2 \geq 0[/TEX]
\Rightarrow [TEX](a^2+b^2)^2 \geq 4(ab)^2*(2)[/TEX]
từ (1)(2) \Rightarrow [TEX]ab+3 \geq 4(ab)^2[/TEX]
\Leftrightarrow [TEX]ab+3-4(ab)^2 \geq 0[/TEX]
\Leftrightarrow [TEX] -4(ab)^2+ab+3 \geq 0[/TEX]
*Đặt t=ab
\Rightarrow [TEX] \ -(4t^2-t-3) \geq 0[/TEX]
\Leftrightarrow [TEX]4t^2+3t-4t-4 \leq 0[/TEX]
\Leftrightarrow t(4t+3)-(4t+3) \leq 0
\Leftrightarrow (4t+3)(t-1) \leq 0

\Leftrightarrow [TEX]\left\{\begin{matrix} t=\frac{-3}{4} \\ t=1 \end{matrix}\right[/TEX]

\Leftrightarrow [TEX]\frac{-3}{4} \leq t \leq 1[/TEX]

\Rightarrow max = 1 khi xy=1
\Rightarrow min =[TEX]\frac{-3}{4} \ khi \ x=\frac{-3}{4}[/TEX]