Toán đại số

[dmlhhmlt]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Toán đại số cực khó

Câu 1:
Cho phương trình $x^2-2(m+1)x+m^2=0$ . Tìm $m$ để phương trình có hai nghiệm $x_{1};x_{2}$ thỏa mãn $( x_{1} -m)^2 + x_{2} = m+2$
Câu 2 : Giải phương trình trên tập số nguyên:
$$x^{2015}=\sqrt{y(y+1)(y+2)(y+3)} +1$$

Câu 3:
1. Cho $a,b$ là hai số thực dương. Chứng minh rằng : $\sqrt{(1+a)(1+b)}$\geq $1+\sqrt{ab}$
2. Cho $a,b$ là hai số thực dương thỏa mãn $a+b=ab$. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức $P=\dfrac{1}{a^2+2a} + \dfrac{1}{b^2+2b} + \sqrt{(1+a^2)(1+b^2)}$

 

[transformers123]

Câu 2:

$x^{2005}=\sqrt{y(y+1)(y+2)(y+3)}+1$

Dễ thấy $\sqrt{y(y+1)(y+2)(y+3)} \in Z$

Hay $y(y+1)(y+2)(y+3)$ là số chính phương

Ta có: $y(y+1)(y+2)(y+3)$

$=(y^2+3y+1)^2-1$

Mà $y(y+1)(y+2)(y+3) \ge 0$ nên $(y^2+3y+1)^2-1 \ge 0$

$\iff (y^2+3y+1)^2 \ge 1$

$\bigstar TH_1:\ (y^2+3y+1)^2=1$

$\iff \left[\begin{matrix}y=0\\y=-1\\y=-2\\y=-3\end{matrix}\right.$

$\Longrightarrow x=1$

$\bigstar TH_2:\ (y^2+3y+1)^2 > 1$

$\iff y(y+1)(y+2)(y+3)$ không phải số chính phương (vô lí)

Vậy $(x;y)=(1;0),\ (1;-1),\ (1;-2),\ (1;-3)$

 

[eye_smile]

Câu 3:

1. BĐT \Leftrightarrow $(1+a)(1+b) \ge (1+\sqrt{ab})^2$

\Leftrightarrow $1+a+b+ab \ge 1+ab+2\sqrt{ab}$

\Leftrightarrow $a+b \ge 2\sqrt{ab}$ (luôn đúng với a;b là 2 số thực dương)

2,

$P \ge \dfrac{4}{a^2+b^2+2a+2b}+\sqrt{(1+a^2)(1+b^2)}$

$\ge \dfrac{4}{(a+b)^2-2ab+2(a+b)}+1+ab$

$\ge \dfrac{4}{(a+b)^2}+ab+1$

$=\dfrac{4}{a^2b^2}+ab+1$

$=\dfrac{4}{a^2b^2}+\dfrac{ab}{16}+\dfrac{ab}{16}+\dfrac{7ab}{8}+1$

$\ge \dfrac{3}{4}+\dfrac{7.4}{8}+1=...$

Dấu = xảy ra khi $a=b=2$

 

[eye_smile]

Câu 1:

$\Delta'=2m+1 \ge 0$

\Leftrightarrow $m \ge \dfrac{-1}{2}$

Vậy với $m \ge \dfrac{-1}{2}$ thì PT có 2 nghiệm

Ta có: $(x_1-m)^2+x_2=m+2$

\Leftrightarrow $x_1^2-2x_1.m+m^2+x_2=m+2$

\Leftrightarrow $x_1^2-2x_1.m-2x_1+m^2+2x_1+x_2=m+2$

\Leftrightarrow $2x_1+x_2=m+2$

\Leftrightarrow $x_1+(x_1+x_2)=m+2$

\Leftrightarrow $x_1+2(m+1)=m+2$

\Leftrightarrow $x_1=-m;x_2=3m+2$

Lại có: $x_1.x_2=m^2$

\Leftrightarrow $-m(3m+2)=m^2$

\Leftrightarrow ...