CHo x,y,z là các số nguyên tố khác 0.
CMR: Nếu x^2 - yz = a
y^2--xz=b
z^2-x=c
thì (ax+by+cz) chia hết cho (a+b+c)
Có: [tex]\left\{\begin{matrix} x^{2}-yz=a\\y^{2}-xz=b \\ z^{2}-x=c \end{matrix}\right. \Rightarrow x^{2}+y^{2}+z^{2}-xy-yz-zx=a+b+c[/tex]
$\left\{\begin{matrix} x^{2}-yz=a\\y^{2}-zx=b\ \\z^{2}-xy=c \end{matrix}\right. $
$\Rightarrow \left\{\begin{matrix} x^{3}-xyz=ax\\y^{3}-xyz=by \\z^{3}-xyz=cz \end{matrix}\right.$ ( vì x,y,z là các số nguyên tố khác 0)
$\Rightarrow x^{3}+y^{3}+z^{3}-3xyz=ax+by+cz$
$\Leftrightarrow (x+y+z)(x^{2}+y^{2}+z^{2}-xy-yz-zx)=ax+by+cz $ (Đẳng thức phụ: $x^{3}+y^{3}+z^{3}-3xyz=(x+y+z)(x^{2}+y^{2}+z^{2}-xy-yz-zx$ chứng minh bằng cách biến đổi tương đương)
$\Leftrightarrow (x+y+z)(a+b+c)=ax+by+cz$ (thay $x^{2}+y^{2}+z^{2}-xy-yz-zx=a+b+c$)
Vì x,y,z là các số nguyên tố khác 0 => x+y+z khác 0 => (ax+by+cz) chia hết cho (a+b+c) (đpcm)
[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
