Toán đại số lớp 7

[shinichi_02_13]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Chào các bạn, hôm nay cô giáo mình lại cho mình một bài toán hóc búa, xin lỗi vì chỉ biết hỏi chứ chưa biết trả lời giúp người khác. Cho mình hỏi bài này nhé, nếu gõ lateX thì mình sẽ thanks:
Cho hai đa thức $P(x)$ và $Q(x)$ thoả mãn điều kiện:
$P(x)=Q(x)+Q(1-x)$ với mọi $x\in\mathbb{R}$.
Biết rằng các hệ số của đa thức $P(x)$ là các số nguyên không âm và $P(0)=0$.
Tính $P\left[P(3)\right]$.

 

[hungasdfghjkl]

Theo đề bài ta có:
$P(0)=Q(0)+Q(1)=0$ (1)
$P(1)=Q(1)+Q(0)$ (2)
Từ (1) và (2), suy ra $P(1)=0$.
Giả sử $P(x)=a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+a_{n-2}x^{n-2}+$...$+a_1x+a_0$ trong đó $a_n$, $a_{n-1}$, $a_{n-2}$, ..., $a_1$, $a_0$ là các số nguyên không âm, ta có:
$P(0)=a_n+a_{n-1}+a_{n-2}+$...$+a_1+a_0=0$.
Vì tổng của các số không âm bằng 0 nên $a_n=a_{n-1}=a_{n-2}=$...$a_1=a_0=0$, nghĩa là $P(x)=0$ với mọi $x\in\mathbb{R}$. Suy ra $P(3)=0$, do đó $P\left[P(3)\right]=0$.
Gõ lateX mỏi cả tay.

 

[thinhrost1]

Bài trên chỉ cần làm ngắn gọn:
$P(0)=Q(0)+Q(1)=0$
$P(1)=Q(1)+Q(0)=0$
\Rightarrow P(x) là hàm hằng.
\Leftrightarrow $P\left[P(3)\right]=0$.