Toán đại số lớp 7

[shinichi_02_13]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Cho mình hỏi bài này:
Chứng tỏ rằng nếu đa thức $ax^3+bx^2+cx+d$ có giá trị nguyên với mọi $x\in\mathbb{Z}$ thì $6a$, $2b$, $a+b+c$ và $d$ là các số nguyên.
Điều ngược lại có đúng không?
Yêu cầu gõ latex, cho mình thanks trước!

 

[hungasdfghjkl]

$P(0)=d\in\mathbb{Z}$ (1)
$P(1)=a+b+c+d\in\mathbb{Z}$ (2)
$P(-1)=-a+b-c+d\in\mathbb{Z}$ (3)
Từ (1), (2) và (3) suy ra $2b\in\mathbb{Z}$, $2a+2c\in\mathbb{Z}$
$P(2)=8a+4b+2c+d=6a+4b+2a+2c+d\in\mathbb{Z}$
Suy ra $6a\in\mathbb{Z}$
Vậy $6a$, $2b$, $a+b+c$ và $d$ là số nguyên.
Điều ngược lại cũng đúng, ta có:
$P(x)=ax^3-ax+bx^2-bx+ax+bx+cx+d$
$=ax(x-1)(x+1)+bx(x-1)(x+1)+x(a+b+c)+d$
$=6a\dfrac{(x-1)x(x+1)}{6}+2b\dfrac{(x-1)x}{2}+x(a+b+c)+d$ (4)
Do $(x-1)x(x+1)$ chia hết cho 6 còn $(x-1)x$ chia hết cho 2 với mọi $x\in\mathbb{R}$. Vì thế từ (4) suy ra $P(x)$ là số nguyên.
Có ai có lời giải hay hơn thì post tiếp nhé!