Toán đại nâng cao

[bubuchachaabc]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Bài 1: Tìm các số nguyên dương x, y biết:
[TEX]15x^2 - 7y^2 = 9[/TEX]
Bài 2: Cho a,b,c là các số dương. CMR:
[TEX]\frac{a^5}{a^2 + ab +b^2} + \frac{b^5}{b^2 + bc + c^2} + \frac{c^5}{c^2 + ca +a^2} \leq \frac{a^3 + b^3 + c^3}{3}[/TEX]
Bài 3:Cho a,b,c > o và thỏa mãn:
[TEX]\frac{1}{1 + a} + \frac{1}{1 + b} + \frac{1}{1 + c} = 2[/TEX]
Tìm giá trị lớn nhất của Q = abc.

 

[tranvanhung7997]

Bài 3:Cho a,b,c > o và thỏa mãn:
[TEX]\frac{1}{1 + a} + \frac{1}{1 + b} + \frac{1}{1 + c} = 2[/TEX]
Tìm giá trị lớn nhất của Q = abc
Giải:
Ta có: $\dfrac{1}{1 + a} + \dfrac{1}{1 + b} + \dfrac{1}{1 + c} = 2$
<=> $\dfrac{1}{1 + a} = \dfrac{b}{1 + b} + \dfrac{c}{1 + c} \ge 2 \sqrt{\dfrac{bc}{(1 + b)(1 + c)}$
Tương tự: => $\dfrac{1}{1 + b} \ge 2\sqrt{\dfrac{ca}{(1 + c)(1 + a)}$
và $\dfrac{1}{1 + c} \ge 2\sqrt{\dfrac{ab}{(1 + a)(1 + b)}$
Nhân theo vế 3 BĐT trên,ta được:
$\dfrac{1}{(1 + a)(1 + b)(1 + c)} \ge 8.\dfrac{abc}{(1 + a)(1 + b)(1 + c)}$
=> $abc \le 8$
Dấu = có <=> $a = b = c =2$

 

[0973573959thuy]

Bài 1 :

$15x^2 - 7y^2 = 9$ (1)

$\leftrightarrow 15x^2 - 9 = 7y^2 \vdots 3 \rightarrow y^2 \vdots 3$ (vì 3;7 nguyên tố cùng nhau) $\rightarrow y \vdots 3 \rightarrow y = 3m (m \in Z)$

Thay $y = 3m$ vào (1) ta có :

$15x^2 - 7.9m^2 = 9 \leftrightarrow 5x^2 - 21m^2 = 3$ (2)

Chứng minh tương tự như trên ta có $x = 3n (n \in Z)$

Thay $x = 3n$ vào (2) ta có : $5.9n^2 - 21m^2 = 3 \leftrightarrow 15n^2 - 7m^2 = 1$

$\leftrightarrow 15n^2 = 7m^2 + 1 \vdots 5$ (1')

Vì $m^2$ là 1 số chính phương nên $m^2$ có tận cùng bằng $0;1;4;5;6;9$

$\rightarrow 7m^2$ có tận cùng bằng $0;7;8;5;2;3$

$\rightarrow 7m^2 + 1$ có tận cùng bằng $1;8;9;6;3;4$ không chia hết cho 5 (2')

Từ (1'); (2') suy ra phương trình vô nghiệm