Toán toán đại khó

[ttn.ss]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

1.Cho các phương trình bậc hai
ax^2 + 2bx + c = 0
bx^2 +2cx + a =0
cx^2 + 2ax + b=0
Chứng minh rằng ít nhất một trong các phương trình trên có nghiệm.
2. Chứng minh rằng với mọi giá trị a,b,c thì phương trình : (x-a)(x-b)+(x-b)(x-c)+(x-c)(x-a)=0 có nghiệm
3. Cho phương trình : x^2 -2ax-(a+3)=0. Tìm các số nguyên a sao cho phương trình có nghiệm nguyên

 

[Nguyễn Xuân Hiếu]

1.Cho các phương trình bậc hai
ax^2 + 2bx + c = 0
bx^2 +2cx + a =0
cx^2 + 2ax + b=0
Chứng minh rằng ít nhất một trong các phương trình trên có nghiệm.
2. Chứng minh rằng với mọi giá trị a,b,c thì phương trình : (x-a)(x-b)+(x-b)(x-c)+(x-c)(x-a)=0 có nghiệm
3. Cho phương trình : x^2 -2ax-(a+3)=0. Tìm các số nguyên a sao cho phương trình có nghiệm nguyên

1)Đánh dấu các phương trình đó lần lượt là:
[tex]ax^2 + 2bx + c = 0(1) \\bx^2 +2cx + a =0(2) \\cx^2 + 2ax + b=0(3)[/tex]
Để (1) (2) (3) có nghiệm thì $\Delta' >0$.Khi đó:
[tex]b^2-ac>0 \\c^2-ab>0 \\a^2-bc>0 \\a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca>0 \\2a^2+2b^2+2c^2-2ab-2bc-2ca>0 \\(a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2>0[/tex]
Điều này hiển nhiên đúng nên tồn tại ít nhất một trong các phương trình trên có nghiệm.
2)Bạn nhân bung hết biểu thức sẽ ra :
[tex]3x^2-2x(a+b+c)+ab+bc+ca=0 \\\Delta' =(a+b+c)^2-3(ab+bc+ca) \\=a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca \\=\frac{1}{2}[(a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2] \geq 0[/tex]
Nên với mọi giá trị của a,b,c thì phương trình trên có nghiệm.
3)[tex]x^2 -2ax-(a+3)=0 \\\Delta'=a^2+a-3[/tex]
Để phương trình có nghiệm nguyên thì Delta' phải là scp và Delta >0(Cái này bạn tự giải nhé)
Đặt :[tex]a^2+a-3=k^2 \\\Rightarrow 4a^2+4a-12-4k^2=0 \\\Rightarrow(4a^2+4a+1)-4k^2=13 \\\Rightarrow (2a+1-2k)(2a+2k+1)=13=1.13=-1.-13 \\\Rightarrow a=3,a=-4[/tex].
$a=3,a=-4$ đều thõa mãn delta >0.Nên $a=3,a=-4$ là giá trị cần tìm.