cho x,y,z là các số dương thỏa mãn: x+y+z=xyz
tìm GTNN của biểu thức : P= 1/x^2 + 2/y^2 +5/z^2
Áp dụng bất đăng thức AM-GM ta có:
[TEX]
\frac{1}{y^2} + \frac{4}{9}.\frac{1}{x^2} \ge \frac{4}{3}.\frac{1}{xy}\Leftrightarrow \frac{3}{4}.\frac{1}{y^2} + \frac{1}{3}.\frac{1}{x^2} \ge \frac{1}{xy}(*)[/TEX]
[TEX] \Leftrightarrow
\frac{1}{z^2} + \frac{1}{9}.\frac{1}{x^2} \ge \frac{2}{3}.\frac{1}{xz} \Leftrightarrow \frac{3}{2}.\frac{1}{z^2} + \frac{1}{6}.\frac{1}{x^2} \ge \frac{1}{{xz}}(**)[/TEX]
[TEX]\Leftrightarrow
\frac{1}{9}.\frac{1}{y^2} + \frac{4}{9}.\frac{1}{z^2} \ge \frac{4}{9}\frac{1}{yz} \Leftrightarrow \frac{1}{4}.\frac{1}{y^2} + \frac{1}{z^2}b \ge \frac{1}{yz}(***)[/TEX]
[TEX]\Leftrightarrow
(*) + (**) + (***) \Rightarrow \frac{1}{2}.\frac{1}{x^2} + \frac{1}{y^2} + \frac{5}{2}.\frac{1}{z^2} \ge \frac{1}{xy} + \frac{1}{yz} + \frac{1}{zx} = 1 \Leftrightarrow
hay:0.5P \ge 1 \Leftrightarrow P \ge 2;[/TEX]
[TEX]
' = ' \Leftrightarrow
x = \frac{\sqrt {11} }{3}
y = \frac{\sqrt {11} }{2}
z = \sqrt {11}[/TEX]
[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn