toán đại dễ...

[vipboycodon]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

1,Cho x,y,z>0 thoả $x^2+y^2+z^2=3$
Cm:
[TEX]\frac{xy}{z}+\frac{yz}{x}+\frac{xz}{y} \geq 3[/TEX]

2,Cho 3 số dương thoả abc=1
Cm:
[TEX]\frac{1}{a^2+2b^2+3}+\frac{1}{b^2+2c^2+3}+\frac{1}{c^2+2a^2+3}\leq \frac{1}{2}[/TEX]

 

[angleofdarkness]

Bài 1

Do x,y,z>0 nên $\dfrac{xy}{z} ; \dfrac{yz}{x} ; \dfrac{xz}{y} > 0.$
Áp dụng BĐT Cô si cho từng cặp số dương trên ta được:

$\dfrac{xy}{z}+\dfrac{yz}{x}$ \geq 2.$\sqrt{\dfrac{xy}{z}.\dfrac{yz}{x}} = 2.y^2.$

$\dfrac{yz}{x}+\dfrac{zx}{y}$ \geq 2.$\sqrt{\dfrac{zy}{x}.\dfrac{zx}{y}} = 2.z^2.$

$\dfrac{zx}{y}+\dfrac{xy}{z}$ \geq 2.$\sqrt{\dfrac{yz}{y}.\dfrac{xy}{z}} = 2.x^2.$

Mà $x^2+y^2+z^2=3$

Cộng vế vào \Rightarrow đpcm: $\dfrac{xy}{z}+\dfrac{yz}{x}+\dfrac{xz}{y}$ \geq 3

 

[angleofdarkness]

Bài 2:

Có $a^2+2b^2+3=(a^2+b^2)+(b^2+1) +2$ \geq 2(ab+b+1) (BĐt Cô si cho 2 cặp số dương $a^2, b^2$ và $b^2, 1$.)
\Rightarrow $\dfrac{1}{a^2+2b^2+3}$ \leq $\dfrac{1}{2(ab+b+1)} = \dfrac{abc}{2(ab+b+abc)} = \dfrac{abc}{2b(a+1+ca)} = \dfrac{ca}{2(ca+a+1)}$
$\dfrac{1}{b^2+2c^2+3}$ \leq $\dfrac{1}{2(bc+c+1)} = \dfrac{abc}{2(bc+cabc+abc)} = \dfrac{abc}{2bc(ca+a+1)} = \dfrac{1}{2(ca+a+1)}$
$\dfrac{1}{c^2+2a^2+3}$ \leq $\dfrac{1}{2(ca+a+1)}$

Cộng vế vào \Rightarrow đpcm

 

[vipboycodon]

Bài 1

Do x,y,z>0 nên $\dfrac{xy}{z} ; \dfrac{yz}{x} ; \dfrac{xz}{y} > 0.$
Áp dụng BĐT Cô si cho từng cặp số dương trên ta được:

$\dfrac{xy}{z}+\dfrac{yz}{x}$ \geq 2.$\sqrt{\dfrac{xy}{z}.\dfrac{yz}{x}} = 2.y^2.$

$\dfrac{yz}{x}+\dfrac{zx}{y}$ \geq 2.$\sqrt{\dfrac{zy}{x}.\dfrac{zx}{y}} = 2.z^2.$

$\dfrac{zx}{y}+\dfrac{xy}{z}$ \geq 2.$\sqrt{\dfrac{yz}{y}.\dfrac{xy}{z}} = 2.x^2.$

Mà $x^2+y^2+z^2=3$

Cộng vế vào \Rightarrow đpcm: $\dfrac{xy}{z}+\dfrac{yz}{x}+\dfrac{xz}{y}$ \geq 3

bạn ơi nhầm rồi là 2x ;2y;2z,chứ k0 phải [TEX]2x^2;2y^2;2z^2[/TEX] đâu vì còn dấu căn mà