toán đại 8

[xuongrongtrang13]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

1. Cho 2x + y =5. CMR : [TEX]x^2[/TEX] + [TEX]y^2[/TEX] \geq 5
2. CM BĐT :
[tex]\frac{a^2}{a^4 + 1}[/tex] \geq [TEX]\frac{1}{2}[/TEX]
3. Cho x,y dương. CMR : [TEX]\frac{x}{y}[/TEX] + [TEX]\frac{y}{x}[/TEX] \geq 2
4. CM các BĐT sau:
a. Cho x + y = 2 . CMR : [TEX]x^4[/TEX] + [TEX]y^4[/TEX] \geq 2
b. Cho a + b = 1 . CMR : [TEX]a^2[/TEX] + [TEX]b^2[/TEX] \geq [TEX]\frac{1}{2}[/TEX]
c. Cho a + b = 1 . CMR : [TEX]a^2[/TEX] + [TEX]b^4[/TEX] \geq [TEX]\frac{1}{8}[/TEX]
4. CMR : ( x - 1 )( x - 2 )( x - 3 )( x - 4 ) \geq -1
5. Cho các số dương a và b thoả mãn a + b = 1 . CMR : ( 1 + [TEX]\frac{1}{a}[/TEX])( 1 + [TEX]\frac{1}{b}[/TEX] \geq 9

 

[icy_tears]

Bài 4:
$(x - 1)(x - 2)(x - 3)(x - 4)$ \geq $-1$
\Leftrightarrow $(x^2 - 5x + 4)(x^2 - 5x + 6)$ \geq $-1$
\Leftrightarrow $(x^2 - 5x + 4)^2 + 2(x^2 - 5x + 4) + 1$ \geq $0$
\Leftrightarrow $(x^2 - 5x + 5)^2$ \geq $0$ (điều này luôn đúng)
\Rightarrow ĐPCM

 

[thaiha_98]

Bài 3:
Đây chính là BĐT Cauchy với 2 số dương.
Ta có:
$(x-y)^2 = x^2 - 2xy + y^2 \ge 0$
\Rightarrow $x^2 + y^2 \ge 2xy$
\Rightarrow $\frac{x^2}{xy} + \frac{y^2}{xy} \ge \frac{2xy}{xy}$ (Vì $x,y > 0$)
\Rightarrow $\frac{x}{y} + \frac{y}{x} \ge 2 (đpcm)$

 

[tranlinh98]

Bài 1
Ta có 2x+y=5
\Rightarrow y=5-2x
NÊn [TEX]{x}^{2}+{y}^{2}\geq 5[/TEX]
\Leftrightarrow [TEX]{x}^{2}+({5-2x})^{2}\geq 5[/TEX]
\Leftrightarrow [TEX]{x}^{2}+25-20x+{4x}^{2}\geq5[/TEX]
\Leftrightarrow[TEX]{5x}^{2}-20x+25\geq 5[/TEX]
\Leftrightarrow[TEX]5({x}^{2}-4x+5)\geq 5[/TEX]
\Leftrightarrow[TEX]5\left[({x-2})^{2} +1\right]\geq 5[/TEX]
Vì[TEX]({x-2})^{2}[/TEX]\geq 0\forallx
\Rightarrow[TEX]({x-2})^{2}+1[/TEX]\geq 1\forallx
\Rightarrow[TEX]5\left[({x-2})^{2} +1\right]\geq 5[/TEX](luôn đúng)
Vậy[TEX]2x+y=5[/TEX]Thì[TEX]{x}^{2}+{y}^{2}\geq 5[/TEX](ĐPCM)

 

[ilovescience]

Bài 2:
[TEX]\frac{a^2}{a^4+1} \geq \frac{1}{2}[/TEX]
\Leftrightarrow [TEX]a^4+1\geq 2a^2[/TEX]
\Leftrightarrow[TEX]a^4-2a^2+1 \geq 0[/TEX]
\Leftrightarrow[TEX](a^2-1)^2 \geq 0[/TEX]
Do BDT thức cuối cùng luôn đúng nên BDT ban đầu được chứng minh.

 

[ilovescience]

Bài 4:

a)Do x+y=2\Rightarrow[TEX](x+y)^2=4\Rightarrow x^2+y^2 + 2xy=4[/TEX]
Do [TEX]x^2+y^2\geq2xy\Rightarrow 2(x^2+y^2)\geq x^2+y^2+2xy[/TEX]
\Rightarrow[TEX]2(x^2+y^2)\geq4\Rightarrow x^2+y^2\geq2[/TEX]
[TEX]\Rightarrow(x^2+y^2)^2\geq4[/TEX]
Làm tương tự, ta chứng minh được [TEX]2(x^4+y^4)\geq(x^2+y^2)^2[/TEX]
[TEX]\Rightarrow x^4+y^4\geq 2[/TEX](dpcm)

b)Do x+y=1 \Rightarrow [TEX](x+y)^2=1\Rightarrow x^2+y^2+2xy[/TEX]
Do [TEX]x^2+y^2\geq 2xy [/TEX] \Rightarrow [TEX]2(x^2+y^2)\geq(x^2+y^2+2xy)[/TEX]
\Rightarrow [TEX]2(x^2+y^2)\geq1[/TEX]
\Rightarrow[TEX]x^2+y^2\geq\frac{1}{2}[/TEX]

c)Áp dụng câu b: Do [TEX]a^2+b^2\geq\frac{1}{2}\Rightarrow a^4+b^4\geq\frac{1}{8}[/TEX]( cách làm tương tự câu a).
do a+b=1\Rightarrow a\leq 1\Rightarrow[TEX]a^2 \geq a^4[/TEX](tính chất đấy). \Rightarrow [TEX]a^2+b^4\geq a^4+b^4\Rightarrow a^2+b^2\geq\frac{1}{8}[/TEX]

 

[ilovescience]

bài 5

[TEX](1+\frac{1}{a})(1+\frac{1}{b})[/TEX]
[TEX]=(1+\frac{a+b}{a})(1+\frac{a+b}{b})[/TEX]
[TEX]=(2+\frac{b}{a})(2+\frac{a}{b})[/TEX]
[TEX]=4+2(\frac{a}{b}+\frac{b}{a})+1[/TEX]
Áp dụng BDT Cô-si cho hai số dương [TEX]\frac{a}{b}[/TEX] và [TEX]\frac{b}{a}[/TEX], ta có:
[TEX]\frac{a}{b}+\frac{b}{a}\geq 2. \sqrt[2]{\frac{ab}{ba}}=2.1=2[/TEX]
\Rightarrow [TEX](1+\frac{1}{a})(1+\frac{1}{b})[/TEX] \geq 5+2.2=9 (Đpcm)