[Toán đại 8] tìm số nguyên thoả mãn

[neyuhcva]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

1/ Tìm các số nguyên x,y thỏa mãn: $x^3-y^3=3xy+1$
2/ Tìm các số nguyên x,y,z thỏa mãn: $0 \ge 2x^2+4xy+5y^2+2xy+z^2-2xz \ge 1$
3/ Tìm các số nguyên x,y,z thỏa mãn: $x^2+y^2+z^2<xy+3y+2z-3$

Câu hỏi event

 

[harrypham]

3. [TEX]x^2+y^2+z^2<xy+3y+2z-3[/TEX]
[TEX]\Leftrightarrow x^2+y^2+z^2-xy-3y-2z+3<0[/TEX]
[TEX]\Leftrightarrow 4x^2+4y^2+4z^2-4xy-12y-8z+12<0[/TEX]
[TEX]\Leftrightarrow (4x^2-2.2x.y+y^2)+3(y^2-2.2y+4)+4(z^2-2z+1)<4[/TEX]
[TEX]\Leftrightarrow 0 \le (2x-y)^2+3(y-2)^2+4(z-1)^2<4[/TEX].
Nhận thấy số [TEX]4(z-1)^2 < 4[/TEX] thì chỉ có thể [TEX](z-1)^2=0 \Rightarrow z=1[/TEX].
Khi đó [TEX]0 \le (2x-y)^2+3(y-2)^2<4[/TEX].
Xét:

TH1: Nếu [TEX]3(y-2)^2=0 \Rightarrow y=2[/TEX], khi đó [TEX]0 \le (2x-2)^2<4 \Rightarrow 4(x-1)^2<4[/TEX] suy ra [TEX]x=1[/TEX].

TH2: Nếu [TEX]3(y-2)^2=3 \Rightarrow (y-2)^2=1 \Rightarrow y=3[/TEX] hoặc [TEX]y=1[/TEX].

+ Với [TEX]y=3 \Rightarrow (2x-3)^2<4 \Leftrightarrow \left \[ \begin{array} (2x-3)^2=0 \\ (2x-3)^2=1 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left \[ \begin{array} x= \frac{3}{2} \quad (\text{loai}) \\ x=2 \; \text{hoac} \; x=1 \end{array} \right.[/TEX]

+ Với [TEX]y=1 \Rightarrow (2x-1)^2<4[/TEX].
Do [TEX]2x-1[/TEX] lẻ nên chỉ có thể [TEX](2x-1)^2=1 \Rightarrow x=1 \; \text{hoac} \; x=0[/TEX].

Kết luận. Có các nghiệm nguyên sau:
[TEX](x,y,z)=(1,2,1),(1,3,1),(2,3,1),(1,1,1),(0,1,1)[/TEX].

 

[harrypham]

1. [TEX]x^3-y^3=3xy+1[/TEX]
[TEX]\Leftrightarrow (x-y)^3+3xy(x-y)-3xy+1=0[/TEX]
[TEX]\Leftrightarrow [(x-y)^3-1]+3xy(x-y-1)=-2[/TEX]
[TEX]\Leftrightarrow (x-y-1)[(x-y)^2+(x-y)+1]+3xy(x-y-1)=-2[/TEX]
[TEX]\Leftrightarrow (x-y-1)(x^2+xy+y^2+x-y+1)=-2[/TEX]

Đặt [TEX]A=x^2+xy+y^2+x-y+1[/TEX].
Ta có [TEX]2A=(x^2+2xy+y^2)+(x^2+2x+1)+(y^2-2y+1)=(x+y)^2+(x+1)^2+(y-1)^2 \ge 0[/TEX] nên [TEX]A \ge 0[/TEX].

Đến đây ta sẽ xét các TH sau:

TH1: Nếu [TEX]x-y-1=-1 \Rightarrow x-y=0 \Rightarrow x=y[/TEX]. Khi đó [TEX]A=3x^2+1=2 \Rightarrow 3x^2=1[/TEX], mâu thuẫn do [TEX]x \not \in \mathbb{Z}[/TEX].

TH2: Nếu [TEX]x-y-1=-2 \Rightarrow x=y-1[/TEX].
Khi đó [TEX]A=3y^2-3y+1=1 \Rightarrow 3y(y-1)=0[/TEX].
Vậy hoặc [TEX]y=0[/TEX] hoặc [TEX]y=1[/TEX].

+ Với [TEX]y=0 \Rightarrow x=-1[/TEX].
+ Với [TEX]y=1 \Rightarrow x=0[/TEX].

P/s: Bài 2 đề không đúng!!

 

[bachtri]

sai

3. [TEX]x^2+y^2+z^2<xy+3y+2z-3[/TEX]
[TEX]\Leftrightarrow x^2+y^2+z^2-xy-3y-2z+3<0[/TEX]
[TEX]\Leftrightarrow 4x^2+4y^2+4z^2-4xy-12y-8z+12<0[/TEX]
[TEX]\Leftrightarrow (4x^2-2.2x.y+y^2)+3(y^2-2.2y+4)+4(z^2-2z+1)<4[/TEX]
[TEX]\Leftrightarrow 0 \le (2x-y)^2+3(y-2)^2+4(z-1)^2<4[/TEX].
Nhận thấy số [TEX]4(z-1)^2 < 4[/TEX] thì chỉ có thể [TEX](z-1)^2=0 \Rightarrow z=1[/TEX].
Khi đó [TEX]0 \le (2x-y)^2+3(y-2)^2<4[/TEX].
Xét:

TH1: Nếu [TEX]3(y-2)^2=0 \Rightarrow y=2[/TEX], khi đó [TEX]0 \le (2x-2)^2<4 \Rightarrow 4(x-1)^2<4[/TEX] suy ra [TEX]x=1[/TEX].

TH2: Nếu [TEX]3(y-2)^2=3 \Rightarrow (y-2)^2=1 \Rightarrow y=3[/TEX] hoặc [TEX]y=1[/TEX].

+ Với [TEX]y=3 \Rightarrow (2x-3)^2<4 \Leftrightarrow \left \[ \begin{array} (2x-3)^2=0 \\ (2x-3)^2=1 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left \[ \begin{array} x= \frac{3}{2} \quad (\text{loai}) \\ x=2 \; \text{hoac} \; x=1 \end{array} \right.[/TEX]

+ Với [TEX]y=1 \Rightarrow (2x-1)^2<4[/TEX].
Do [TEX]2x-1[/TEX] lẻ nên chỉ có thể [TEX](2x-1)^2=1 \Rightarrow x=1 \; \text{hoac} \; x=0[/TEX].

Kết luận. Có các nghiệm nguyên sau:
[TEX](x,y,z)=(1,2,1),(1,3,1),(2,3,1),(1,1,1),(0,1,1)[/TEX].

bạn tính sai rồi iiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiii
;