[Toán đại 6] Chia hết

[dituphiamua]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

1.tìm tất cả các số tự nhiên n để $3^{2n}+3^n+1$ chia hết chia hết cho 13
2.a,tìm 3 chữ số tận cùng của $2012^{9^{2012}}$
b,tìm 2 chữ số tận cùng của $2^{2^{2^{2^{...}}}}$ (2012 chữ số 2)
3. chứng minh rằng $(3^{2^{4n+1}})+(2^{3^{4n+1}})+5$ chia hết cho 11 với n là số tự nhiên

~> Chú ý cách đặt tiêu đề: [Toán 6]+Tiêu đề!

 

[kool_boy_98]

Bài 2 bạn sử dụng đồng dư thức (cái này mình chưa giỏi lắm nên chưa rõ cách làm, chỉ gợi ý cho bạn được thôi)

Còn kết quả câu a là: 912

Bạn vào đây xem

^^~

 

[harrypham]

1. Xét

$\boxed{\mathbf{TH1.}}$ Nếu $n=3k$ thì $$3^{2n}+3^n+1=3^{6k}+3^{3k}+1.$$
Ta có $3^3=27 \equiv 1 \pmod{13}$ nên $3^{6k}=(3^3)^{2k} \equiv 1 \pmod{13}$
$3^{3k} \equiv 1 \pmod{13}$.
Do đó $3^{2n}+3^n+1 \equiv 3 \pmod{13}$, loại.

$\boxed{ \mathbf{TH2.}}$ Nếu $n=3k+1$ thì $$3^{2n}+3^n+1=3^{2(3k+1)}+3^{3k+1}+1=3^{6k}.3^2+3^{3k}.3+1.$$
Theo TH1 nên $3^{6k}.9 \equiv 9 \pmod{13}, \; 3^{3k}.3 \equiv 3 \pmod{13}$.
Suy ra $3^{2n}+3^n+1 \equiv 9+3+1 \equiv 0 \pmod{13}$, chọn.

$\boxed{ \mathbf{TH3.}}$ Nếu $n=3k+2$ thì $$3^{2(3k+2)}+3^{3k+2}+1=3^{6k}.3^4+3^{3k}.3^2+1$$
Theo TH1 nên $3^{6k}.3^4 \equiv 3^4 \equiv 3 \pmod{13}, \; 3^{3k}.9 \equiv 9 \pmod{13}$.
Do đó $3^{2n}+3^n+1 \equiv 3+9+1 \equiv 0 \pmod{13}$, chọn.

Vậy $\boxed{n \in \{3k+1,3k+2 \}}$ thì $3^{2n}+3^n+1$ chia hết cho $13$.