Toán cực khó !

[endinovodich12]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Giải hệ phương trình sau :

[tex]\left{\begin{X^3Y - Y^4 = 7}\\{X^2Y + 2XY^2 + Y^3 = 9}[/tex]


KHÓ QUÁ ĐI , BÀI NÀY LÀ ĐỀ THI 15 PHÚT CỦA LỚP EM ĐẤY!

 

[nthoangcute]

Ta có $x^2y+2xy^2+y^3=9$ nên $x(x+y)^2=9$
Đầu tiên ta thấy: Do $x(x+y)^2=9$ nên $x>0$
Nếu $y<0$ thì $0=y^4+7-x^3y > 0$ (Vô lý). Do đó $y \ge 0$
Đặt $\sqrt{y}=t \ge 0$
Ta có: $x(x+y)^2=9$ suy ra $x=\frac{3-t^3}{t}$
Khi đó $0=y^4+7-x^3y=-\frac{(t^3-3)^3}{t}-t^8-7$
Xét hàm số $f(t)=-\frac{(t^3-3)^3}{t}-t^8-7$
$f'(t)=-9(t^3-3)^2t-\frac{(3-t^3)^3}{t^2}-8t^7 \le 0$ với mọi $t \ge 0$
Suy ra Phương trình $f(x)=0$ có tối đa 1 nghiệm !
Dễ thấy $t=1$ là nghiệm
Suy ra $t=1$ cũng là nghiệm duy nhất của phương trình $f(x)=0$
Suy ra $(x,y)=(2,1)$

 

[endinovodich12]

Ta có $x^2y+2xy^2+y^3=9$ nên $x(x+y)^2=9$
Đầu tiên ta thấy: Do $x(x+y)^2=9$ nên $x>0$
Nếu $y<0$ thì $0=y^4+7-x^3y > 0$ (Vô lý). Do đó $y \ge 0$
Đặt $\sqrt{y}=t \ge 0$
Ta có: $x(x+y)^2=9$ suy ra $x=\frac{3-t^3}{t}$
Khi đó $0=y^4+7-x^3y=-\frac{(t^3-3)^3}{t}-t^8-7$
Xét hàm số $f(t)=-\frac{(t^3-3)^3}{t}-t^8-7$
$f'(t)=-9(t^3-3)^2t-\frac{(3-t^3)^3}{t^2}-8t^7 \le 0$ với mọi $t \ge 0$
Suy ra Phương trình $f(x)=0$ có tối đa 1 nghiệm !
Dễ thấy $t=1$ là nghiệm
Suy ra $t=1$ cũng là nghiệm duy nhất của phương trình $f(x)=0$
Suy ra $(x,y)=(2,1)$

Anh có thể giải thích rõ hơn không !
vì em chưa học đến đạo hàm!

 

[nthoangcute]

Anh có thể giải thích rõ hơn không !
vì em chưa học đến đạo hàm!

Hình như mình bằng tuổi bạn (lớp 10)
Nếu không dùng đạo hàm thì làm như sau:
Ta có $$-\frac{(t^3-3)^3}{t}-t^8-7\\=-{\frac { \left( t-1 \right) \left( 2\,{t}^{8}+2\,{t}^{7}+2\,{t}^{6}-
7\,{t}^{5}-7\,{t}^{4}-7\,{t}^{3}+20\,{t}^{2}+20\,t+27 \right) }{t}}$$
Ta thấy:
$$2\,{t}^{8}+2\,{t}^{7}+2\,{t}^{6}-7\,{t}^{5}-7\,{t}^{4}-7\,{t}^{3}+20\,
{t}^{2}+20\,t+27\\= \left( {t}^{2}+t+1 \right) \left( 2\,{t}^{6}-7\,{t}
^{3}+20 \right) +7>0$$
Suy ra kết quả !

 

[endinovodich12]

Cần gấp!

Ta có $x^2y+2xy^2+y^3=9$ nên $x(x+y)^2=9$
Đầu tiên ta thấy: Do $x(x+y)^2=9$ nên $x>0$
Nếu $y<0$ thì $0=y^4+7-x^3y > 0$ (Vô lý). Do đó $y \ge 0$
Đặt $\sqrt{y}=t \ge 0$
Ta có: $x(x+y)^2=9$ suy ra $x=\frac{3-t^3}{t}$
Khi đó $0=y^4+7-x^3y=-\frac{(t^3-3)^3}{t}-t^8-7$
Xét hàm số $f(t)=-\frac{(t^3-3)^3}{t}-t^8-7$
$f'(t)=-9(t^3-3)^2t-\frac{(3-t^3)^3}{t^2}-8t^7 \le 0$ với mọi $t \ge 0$
Suy ra Phương trình $f(x)=0$ có tối đa 1 nghiệm !
Dễ thấy $t=1$ là nghiệm
Suy ra $t=1$ cũng là nghiệm duy nhất của phương trình $f(x)=0$
Suy ra $(x,y)=(2,1)$

Nhầm đề rồi nhé
Nhìn lên phần trích dẫn
Chỗ nào mà sai thì bôi đỏ nhé!

 

[endinovodich12]

Hình như mình bằng tuổi bạn (lớp 10)
Nếu không dùng đạo hàm thì làm như sau:
Ta có $$-\frac{(t^3-3)^3}{t}-t^8-7\\=-{\frac { \left( t-1 \right) \left( 2\,{t}^{8}+2\,{t}^{7}+2\,{t}^{6}-
7\,{t}^{5}-7\,{t}^{4}-7\,{t}^{3}+20\,{t}^{2}+20\,t+27 \right) }{t}}$$
Ta thấy:
$$2\,{t}^{8}+2\,{t}^{7}+2\,{t}^{6}-7\,{t}^{5}-7\,{t}^{4}-7\,{t}^{3}+20\,
{t}^{2}+20\,t+27\\= \left( {t}^{2}+t+1 \right) \left( 2\,{t}^{6}-7\,{t}
^{3}+20 \right) +7>0$$
Suy ra kết quả !

Bạn thay vào sai rồi
Nhìn đè xem làm lại cho mình với!