Toán cực khó, phân tích đa thức thành nhân tử-nhóm hạng tử

[hinatabeauti]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Một bài mà bó tay
Chứng minh: $n^7 - n$ chia hết cho 7
Bài này mình post rồi mà ko ai lùm, giúp mình cày đi, mai đi học rồi!

Chú ý mem thường ko được dùng chữ đỏ, ko spam trong bài viết.

 

[foodfood_chacha]

+ Với $n=0 \Longrightarrow A(n)=0 \ \vdots \ 7$
+Giả sử $n=k \Longrightarrow A(k)= k^7-k \ \vdots \ 7$
+Với $n=k+1 \\\Longrightarrow A(k+1)$$= (k+1)^7-(k+1)\\= k^7 + 7k^6 + 21k^5 + 35k^4 + 35k^3 + 21k^2 + 7k +1 - k -1 \ \text{(tam giác Pascal)} \\= k^7 - k + 7( k^6 +3k^5 + 5k^4 + 5k^3 +3k^2 +k)$
Do $k^7-k \ \vdots 7\\ 7( k^6 +3k^5 + 5k^4 + 5k^3 +3k^2 +k) \ \vdots \ 7 \\\Longrightarrow A(k+1) \ \vdots \ 7$
Vậy: $n^7 - n \ \vdots \ 7$

 

[hinatabeauti]

+ n=0 => A(n)=0 chia hết cho 7
+Giả sử n=k thì A(k)= k^7-k chia hết cho 7
+Với n=k+1 thì
A(k+1)= (k+1)^7-(k+1)
= k^7 + 7k^6 + 21k^5 + 35k^4 + 35k^3 + 21k^2 + 7k +1 - k -1 (tam giác Pascal)
= k^7 - k + 7( k^6 +3k^5 + 5k^4 + 5k^3 +3k^2 +k)
Do k^7-k chia hết cho 7
& 7( k^6 +3k^5 + 5k^4 + 5k^3 +3k^2 +k) chia hết cho 7
Suy ra: A(k+1) chia hết cho 7
Vậy: n^7 - n chia hết cho 7

no no- ko tam giác pasca
mà tam giác pasca là gì?


@thaonguyenkmhd: bài của bạn foodfood_chacha sử dụng hằng đẳng thức nâng cao $(a+b)^n=a^n+na^{n-1}b+\dfrac{n(n-1)}{2}a^{n-2}b^2+...+nab^{n-1}+b^n$
Tam giác Pascal được dùng để tính hệ số của công thức trên.

 

[vansang02121998]

Bài này đơn giản hơn nhiều, không nên nghĩ cứng nhắc chỉ có dùng quy nạp trong toán học

$n^7-n=n(n^2-1)(n^4+n^2+1)$

- Với $n=7k \Rightarrow n \vdots 7$ ( k thuộc Z )

- Với $n=7k \pm 1 \Rightarrow n^2-1 \vdots 7$ ( k thuộc Z )

- Với $n=7k \pm 2 \Rightarrow n^4+n^2+1 \vdots 7$ ( k thuộc Z )

- Với $n=7k \pm 3 \Rightarrow n^4+n^2+1 \vdots 7$ ( k thuộc Z )

Vậy, với mọi n thì $n^7-n \vdots 7$

 

[hinatabeauti]

thắc mắc?

Bài này đơn giản hơn nhiều, không nên nghĩ cứng nhắc chỉ có dùng quy nạp trong toán học

$n^7-n=n(n^2-1)(n^4+n^2+1)$

- Với n=7k \Rightarrow n \vdots 7$ ( k thuộc Z )

- Với n=7k \pm 1 \Rightarrow n^2-1 \vdots 7$ ( k thuộc Z )

- Với n=7k \pm 2 \Rightarrow n^4+n^2+1 \vdots 7$ ( k thuộc Z )

- Với n=7k \pm 3 \Rightarrow n^4+n^2+1 \vdots 7$ ( k thuộc Z )

Vậy, với mọi n thì n^7-n \vdots 7$

Cho mình hỏi: nếu thay [TEX]n=7k \pm 2 \[/TEX]vào[TEX]n^4+n^2+1[/TEX]thì ra bao nhiêu sẽ chia hết cho 7?
tương tự với [TEX]n=7k\pm 3 \[/TEX] tính giùm mình luôn cái.
sáng mai phải đi rồi, sớm trả lời cho mình với!:khi (15)::khi (15)::khi (15):